21) Признак Лейбница

(1)

Если последовательность абсолютных(|u_n|) величин монотонно убывает (u₁>u₂>u₃>…u_n>…) и стремиться к нулю ( ) то ряд (1) сходится при этом сумма S ряда удовлетворяет 0<S<u₁

Рассмотрим сначала частичную сумму четного числа (2n) числового ряда:

согласно первому условию теоремы выражение в скобках всегда положительно и значит сумм S_2n>0 и возрастает с возрастанием номера 2n с другой стороны последовательность S_2n можно переписать так:

легко видеть что S_2n<u₁ таким образом последовательность S₂, S₄, S₆, …, S_2n, … возрастает и ограничена сверху, т.е. имеет придел , причем 0<S_2n<u₁ рассмотрим теперь частичные суммы нечетного числа (2n+1) очевидно что S_2n+1=S_2n+u_2n+1 следовательно ( по второму условию теоремы)

И так: при четном и нечетном n следовательно ряд (1) сходится причем 0<S<u₁/чтд

Замечание Исследование знакочередующегося ряда с отрицательным первым членом сводится к исследованию ряда (1) путём умножения каждого члена исходного ряда на -1.

22) Интегральный признак сходимости (Коши).

Если члены знакоположительного ряда (2) могут быть представлены как числовые значения некоторой непрерывной монотонно убывающей на промежутке [1;+∞) функции f(x) так, что u1=f(1), u2=f(2), …, un=f(n), …, то если сходится (расходится) интеграл сходится, то сходится(расходится) и ряд (2)

Доказательство:

р ассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком функции y=f(x), основанием которой служит отрезок оси Ox от x=1 до x=n, строим входящие и выходящие прямоугольники, основаниями которых служат отрезки[1;2], [2;3] … [n-1;n] … Учитывая геометрический смысл определенного интеграла, запишем:

Или т.е.

Случай когда несобственный интеграл =A> сходится, то получаем так как последовательность частичных сумм монотонно возрастает и ограничена сверху числом (A+u1), то по признаку существования придела имеет придел следовательно ряд сходится.

Случай когда несобственный интеграл =+∞ и интегралы неограниченно возрастают при учитывая что получается что при т.е. ряд расходится.

Замечание: вместо интеграла можно брать где k >1

23) Степенные ряды, теорема Абеля:

1)

- функциональный ряд. Множество значений x, при которых ряд сходится, называется областью сходимости ряда.

- сходится при lxl<1 – область сходимости;

- - сходится при x<0 – область сходимости;

2)Ряд вида - (1) - степенной ряд

, - компл.значное число

Теорема Абеля:

Если ряд (1) сходится при х=х₁, то он сходится абсолютно и при любом значении х₂ , удовлетворяя неравенству (т.е. ближе к х₀ или к х₁) при любом х₂.

Док-во: - разделим и умножим на

(Причем - огранич.,т.к. сходится и общий член стремится к нулю.) < = M

ряд сходится.

Если расходится ряд расходится при х= : (ближе к х₀ чем к х₃)

Областью сходимости степенного ряда является интервал <R. R – радиус сходимости степенного ряда.

Основные свойства степенных рядов: 1. Сумма S(x) степенного ряда является непрерывной функцией в интервале сходимости (-R;R).

2. Степенные ряды и , имеющие радиусы сходимости соответственно R1 и R2, можно почленно складывать, вычитать и умножать. Радиус сходимости произведения, суммы и разности рядов не меньше, чем меньшее из чисел R1 и R2.

3. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать; при этом для ряда S(x)=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ+…при –R<x<R выполняется равенство S’(x)=a₁+2a₂x+3a₃x²+…+na_nxⁿ+…

4. Степенной ряд можно почленно интегрировать на каждом отрезке, расположенном внутри интервала сходимости; при этом для ряда S(x)=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ+… при

–R<a<x<R выполняется равенство

Ряды S’(x)=a₁+2a₂x+3a₃x²+…+na_nxⁿ+… и имеют тот же радиус сходимости, что и исходный степенной ряд.

24) Ряд Тейлора (e^x, sinx, cosx, (1+x)^a, ln(1+x))

Степенные ряды можно почленно дифференцировать и интегрировать внутри интервала сходимости.

,

,

,

,

25, 26) ряд Фурье, Ортогональность системы ф-ции , Ряд Фурье в комплексной форме.

Ряд Фурье:

Из алгебры:

- любое линейное пространство (но попарно перпендикулярны)

(коэффиценты Фурье)

(обобщенный ряд Фурье для f)

Ортогональность системы фунции :

(*)

Ряд Фурье в комплексной форме:

для комплексного значения

- если представить, то получится комплексно сопряженное

(пределение скалярного произведения.)

Надо доказать, что скалярное произведение любых 2-х функций = 0, то есть они попарно перпендикулярны.

n, m- натуральные числа

l- конкретное заданное число в [-l;l]- (*) будут попарно перпендикулярны.

Запишем для какой-либо ф-ии ряд Фурье:

-сумма ряда

- ряд Фурье

Пусть функция f(x) имеет 2l и кусочно непрерывна (на любом конечном интервале имеет не более чем конечное число точек разрыва), кусочно монотонна, тогда имеет место равенство: