10) Несобственный интеграл II-ого рода (от разрывной функции)

Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке [a;b) и имеет бесконечный разрыв при x=b. Если существует конечный придел то его называют несобственным интегралом первого рода и записывают как: т.е. =

Если придел существует, то интеграл сходится, если не существует или бесконечен, то расходится.

Аналогично если функция терпит разрыв в точке x=a то полагают = Если же функция терпит разрыв во внутренней точке с отрезка [a;b], то несобственный интеграл второго рода определяется формулой:

Признаки сходимости:

1. Пусть на промежутке [a;b) функция f(x) и g(x) непрерывны, при x=b терпят бесконечный разрыв и удовлетворяют условию из сходимости вытекает сходимость , а из расходимости расходимость

2. Пусть на промежутке [a;b) функция f(x) и g(x) непрерывны, при x=b терпят бесконечный разрыв. Если существует придел , то интегралы и сходятся или расходятся одновременно.

11) Теоремы сравнения.

(1)

, f и g непрерывны в [a,b], за исключ т С

Если сх (1), то сх и (2)

(1) (2)

(2) расх, то и (1) расх

(2)

Если , то (1) и (2) сходятся или расходятся одновременно

12) Несобственный интеграл( общий случай)

Точки -точки разрыва f(x)

Для того, чтобы сходился этот интеграл, необходимо, чтобы сходились:

Тот интеграл равен сумме интегралов.

13) Примеры применения определенных интегралов.

В ычисление площадей плоских фигур S= или S= , доказывается легко по определению определенного интеграла. Площадь плоской фигуры ограниченной двумя функциями как на рисунке ищется по формуле

S= - =

Д оказывается легко площадь искомой фигуры можно получить путём вычитания из площади трапеции образованной верхней функцией, площади трапеции образованной нижней функцией.

S=

Если кривая задана параметрически

В полярных координатах площадь криволинейного сектора S=

Вычисление длины дуги плоской кривой

Прямоугольные координаты: Под длиной дуги AB принимается придел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длина наибольшего её звена стремиться к нулю.

Если заданно параметрически то

Полярные координаты:

Объем тела:

Объем тела вращения:

14) Интегралы от четных и нечетных функций, на симметричных приделах интегрирования

Если f(x) четная функция от f(-x)=f(x). Так как , а

Т.е.

Если f(x) нечетная функция то f(-x)=-f(x) Так как , а

Т.е.

15) Гамма-функция, бета-функция:

1) Гамма-функция – функция вида (р>0, если р – комплексное число, то R_ep>0)

При p=1:

Г(n+1)= (где n – натуральное число)

2) Бета-функция q,p>0

B(p,q)=B(q,p)

; ; ; ; ; ;

16) Сходимость числового ряда.

Числовой ряд: где u₁ u₂ …u_n… члены ряда, u_n общий член ряда сумма первых n членов ряда, называется n-ой частичной суммой ряда и обозначается

S_n=u₁+u₂+…+u_n, если существует конечный придел S= последовательности частичных сумм ряда, то этот придел называют суммой ряда и говорят что ряд сходится. Записывают S= , если не существует или то ряд называют расходящимся.

Необходимый признак сходимости: если ряд сходится, то его общий член u_n стремиться к нулю.

Док-во. Пусть ряд сходиться и = S тогда = S (при n и (n-1) стремящихся к бесконечности). Учитывая что un= - при n>1 получаем: