Пример 1. Исследовать на равномерную сходимость интеграл на отрезках: 1) ; 2) .

► 1) –интеграл сходится равномерно.

2) Поскольку , если , то , т.е. интеграл сходится неравномерно на .◄

Замечание. НИЗОП – непрерывная на обоих отрезках функция , но на первом из них он сходится равномерно, а на втором неравномерно, т.е. нет аналогии с теоремой Кантора о равно непрерывной функции.

Теорема 1 (Признак Вейерштрасса равномерной сходимости низоп). Если функция интегрируема по на отрезке и если

, (2)

а (3)

сходится, то НИЗОП абсалютно и равномерно сходится по на .

□ Из (2) и из признака сравнения для НИ-1 следует, что НИЗОП (1) абсолютно сходится на . Сходимость интеграла (3) означает:

.

На основании неравенства (2) имеем .

Таким образом, .

Это и означает, что НИЗОП (1) равномерно сходится на .■

Теорема 2 (о непрерывности низоп). Если функция непрерывная на , а низоп (1) равномерно сходится на , то функция из (1) непрерывная на .

□ Возьмём произвольное значение . Тогда

=

Таким образом,

(4)

Поскольку НИЗОП (1) равномерно сходится, то

. (5)

Зафиксируем значение и рассмотрим прямоугольник . Поскольку равномерно непрерывная на (на основании теоремы Кантора), то для выбранного ранее

. (6)

Из неравеств (4), (5) и (6) следует:

, если ,

т.е. функция непрерывная в точке , а тем самым на . ■

Замечание. Равномерная сходимость не является необходимым условием для непрерывнасти НИЗОП. В примере 1 функция – непрерывная на , хотя НИЗОП не является равномерно сходящимся на этом отрезке.

Теорема 3 (об интегрируемости низоп). Если функция непрерывная на , а низоп (1) равномерно сходится на , то низоп есть интегрируемая на функция, причём

, или . (7)

□ Возьмём произвольное значение и рассмотрим прямоугольник . Согласно теореме 2 §10.1 об интегрируемости ИЗОП имеем

(8)

Если мы покажем, что последний интеграл в (8) стремится к нулю при , то тем самым докажем справедливость равенства (7). Поскольку НИЗОП (1) равномерно сходится, то .

Тогда т.е.

. (9)

Если в (8) перейти к пределу при , то на основании (9) получим

, что и означает справедливость (7). ■

Теорема 4 (о дифференцируемости НИЗОП). Если функция и её частная производная непрерывны на , интеграл (1) сходится, а интеграл равномерно сходится по на отрезке , то НИЗОП есть непрерывно дифференцируемая на функция, причём

, т.е.

(НИЗОП можно дифференцировать по параметру под знаком интеграла).

□ Введём вспомогательную функцию . Если , то функция интегрируема на (теорема 3)

Таким образом, По теореме Барроу

,

причём, согласно теореме 2, функция есть непрерывная на . ■

§10.3. Гамма – и Бэта – функции Эйлера.

Будем рассматривать так называемые интегралы Эйлера, названные по предложению Лежандра Гамма – и Бэта – функциями.

1º. Гамма – функция Эйлера. Эта функция вводится как НИЗОП

(1)

с двумя особыми точками и . Покажем, что функция непрерывна при . Для этого представим (1) в виде суммы двух интегралов:

.

Докажем, что эти оба интеграла равномерно сходятся по параметру на каждом отрезке .

1) Если и , то ( – убывающие, поэтому наибольшее значение на левом конце). Поскольку интеграл сходится (он равен , или при ), то интеграл – равномерно сходится на .

2) Если же и , то ( – возрастающая). Поскольку (воспользовались тем, что ), а интеграл – сходится, то интеграл равномерно сходится на . Таким образом, НИЗОП (1) равномерно сходится на , а поэтому функция – непрерывная на (теорема 2 §10.3), а тем самым – непрерывная при .

Аналогичным образом можно показать, что является непрерывно дифференцируемой при , причём

т.е. выпуклая вниз.

Получим основное тождество для .

.

Таким образом, – (3)

формула приведения для Гамма–функции. Для вычисления значений функции достаточно знать её значения на промежутке .

Поскольку , то, взяв в (3) , получаем .

Вычислим

Формула (3) даёт возможность исследовать поведение функции при :

.

Учитывая непрерывность , её выпуклость вниз, её поведение при и некоторые частные значения, схематически изобразим её график.

2º. Бэта – функция Эйлера. Эта функция вводится как НИЗОП

(4)

и имеет две особые точки и . Запишем (1) в виде

.

Исследуем сначала интеграл на сходимость в точке . Поскольку функция непрерывная при , то она ограниченная, т.е. . Тогда имеем и поскольку сходится при , т.е. при , то интеграл сходится (признак сравнения) при всех и при .

Аналогично показывается, что интеграл сходится при всех и при .

Таким образом, функция определена при всех , .

Рассмотрим основные свойства Бэта–функции.

1º. Сделав в (1) замену , имеем

.

2º. Взяв в (4) , имеем

– (5)

другое аналитическое представление Бэта-функции.

3º.

4º.

Пример 1. Выразим интеграл через Бэта–функцию. Сделаем замену :

.

Пример 2. В интеграле делаем замену

.

Очевидно, что интеграл сходится при