Теорема 3 (Достаточное условие дифференцируемости фнп в точке). Если все частные производные определены в окрестности точки и непрерывны в , то функция – дифференцируемая в точке .

□ Доказательство проведём для частного случая функции двух переменных . Покажем, что её приращение можно представить в виде , где . Действительно,

(10)

Рассмотрим следующие представления

При этом, в силу непрерывности и в точке , имеем:

, если .

Таким образом, из (10) получаем

Заметим, что . Действительно, поскольку

то

Это значит, что . Таким образом,

,

что и означает дифференцируемость функции в точке . ■

Замечание. При доказательстве теоремы мы получили, что

, где при .

§7.4. Дифференцирование сложной функци.

Теорема (о дифференцируемости композиции). Если функции являются дифференцируемыми в точке , а функция – дифференцируемая в точке , то композиция является дифференцируемой в точке , причём при имеет место представление :

Где (1)

□ В силу дифференцируемости функции в точке имеем . Поскольку , где при (см §7.3), то , (2)

Из дифференцируемости функций в точке следует

. (3)

Подставляя (3) в (2), получаем

(4)

Поскольку ,

и , то равенство (4) приниимеетт вид

. ■

Замечание. Отметим несколько частных случаев сложных функций и вычислим их производные.

1) Если , , т.е. , то .

2) Если , т.е. то .

3) Если , т.е. то .

Пусть функция является дифференцируемой в точке , т.е.при

. Обозначим .

def. Выражение называют дифференциалом или первым дифференциалом функции в точке и обозначают

. (5)

Таким образом, если функция является дифференцируемой в точке , то

.

Рассмотрим линейную функцию . (6)

Графиком этой функции является плоскость в пространстве , проходящая через точку . При этом разность аппликт плоскости (6) и поверхности в окрестности точки ровна .

def. Плоскость, которая задаётся уравнением (6), называется касательной плоскостью к поверхности в точке .

Заметим при этом, что является приращением функции по касательной плоскости.

Рассмотрим сложную функцию , где функции дифференцируемые в точке , а функция – дифференцируемая в точке . Тогда по определению дифференциала

Таким образом, (7)

Если бы были независимыми переменными, то отличался бы от (5) только тем, что в его выражении множители являются дифференциалами этих независимых переменных, а в выржении (7) являются дифференциалами функций в точке . Формальная запись дифференциала в обоих случаях одинакова. При этом говорят, что форма первого дифференциала является инвариантной относительно замены переменнных, или что первый дифференциал имеет свойство инвариантности формы.

Отметим, что при вычислении первого дифференциала функций нескольких переменных пользуются правилами, аналогичными тем, что и для функций одной переменной. Например, .

def. Функцию , определённую на множестве , называют однородной функцией степени , если

(8)

Например, функция – однородная степени 1; функция – однородная степени 1/2; функция не является однородной.