§7.2.Предел функции нескольких переменных.

def. Бесконечное занумерованное множество точек из называется последовательностью точек в пространстве и абазначается . Последовательность называют сходящейся к пределу и записвают , если , т.е. .

Теорема. Для того чтобы последовательность метрического пространства сходилась к , необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства или .

□ праведливость теоремы следует из неравенства

.■

Следствие. Для последовательностей точек из имеют место свойства, аналогичные соответствующим свойствам числовых последовательностей.

def. Однозначное соответствие точек множества элементам множества называют функцией или отображением в пространство и обозначают , или .

Окрестность без точки называют проколотой окрестностью точки и обозначают .

def. Действительное число называют пределом функции при , если и обозначают .

Как и для функции одной переменной имеет место

Критерий Гейнэ.  Для того чтобы , необходимо и достаточно, чтобы для каждой последовательности соответствующая последовательность значений функции .

Пример 1. Существует ли предел функции в точке ?

► Пусть . Тогда , откуда . Если же , то и . В соответствии с критерием Гейнэ функция не имеет предела в точке .◄

Пределы и называют повторными пределами. В этом примере оба повторные предела равны 0, но предел функции не существует при .

def. Функцию , определённую в окрестности точки , называют непрерывной в точке , если , т.е. . Если функция непрерывна в каждой точке множества , то её называют непрерывной на множестве .

Пример 2. Функция является разрывной в точке , поскольку она не имеет предела в этой точке . Пример 3. Исследуем функцию на непрерывность в точке .

► Пусть . Если , то , поэтому

.

Но это ещё не означает, что предел функции также существует. Если двигаться к началу координат по параболе , то мы также получаем нулевое значение соответствующего предела. Но нам нужно убедиться, что предел равен нулю независимо от путей, по каким точка стремится к . Из неравенств

следует, что , а функция является непрерывной в точкее .◄

Наличие пределов по бесконечному множеству направлений ещё не гарантирует существование предела функции .

Пример 4.

► По направлениям имеем , а поэтому . Но по направлению имеем . А это значит, что функция не имеет предела в . ◄

Непрерывные функции нескольких переменных имеют свойства, аналогичные свойствам непрерывных функций одной переменной.

1º. Если функции и определены на множестве и непрерывны в точке , то функции , , также непрерывны в точке .

2º. Если функция является непрерывной в точке и , то существует такая окрестность , что .

3º. Пусть функция является непрерывной на связном множестве , причём в точках значения функции . Если С является произвольным числом между и , то на каждой непрерывной кривой Г , соединяющей точки и полностью расположенной в , найдётся точка (целая кривая точек С ) . Например , .

4º. (Теорема Вейрштрасса).

Непрерывная на компакте функция является ограниченной на этом компакте и достигает на этом компакте своих точных верхней и нижней границ.

def. Функция называется равномерно непрерывной на множестве , если .