Теорема 2. (Критерий Коши рсфр) Для того чтобы функциональный ряд был равномерно сходящимся на множестве , необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Коши:

. (6)

□ Согласно определению функциональный ряд является равномерно сходящимся на , если последовательность его частичных сумм является равномерно сходящейся на . Согласно теореме 1 если и тольки если . (7)

Поскольку , то условие (7) равносильно (6). ■

def. Числовой ряд называют числовой мажорантой для функционального ряда , если . (8)

Теорема 3. ( Признак Вейерштрасса рсфр) Если функциональный ряд имеет на множестве сходящуюся числовую мажоранту, то он равномерно сходится на .

□ Пусть имеет место (8) и ряд является сходящимся. Таким образом,

. (9)

Поскольку числовой ряд является сходящимся, то для него выполняется условие Коши: , (10)

А из (9) и (10) следует, что для ряда выполняется условие Коши (6). Согласно теореме 2 ряд является равномерно сходящимся на множестве .

Абсолютная сходимость ряда следует из правого неравенства (9). ■ 

Следствие. Если сходится ряд , где , то ряд сходится абсалютно и равномерно на множестве .

Пример 5. Докажем равномерную сходимость ряда на множестве .

 Используя неравенство и учитывая , имеем . Но полученная при этом мажоранта является расходящейся как гармонический ряд. Признак Вейерштрасса не работает.

Если же использовать более “тонкую” оценку (мы её доказали, пользуясь формулой Лагранжа) и учесть, что , то получим . Из сходимости ряда (обобщённый гармонический, ) следует равномерная сходимость ряда.

Пример 6. Исследовать на равномерную сходимость .

 Если учесть, что , то получим . Поскольку при этом , то ряд – расходящийся. Признак Вейерштрасса не работает. Попробуем иначе. Поскольку и ( это следует из неравенств ), то

,

откуда следует равномерная сходимость рассматриваемого ряда. 

§6.6. Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов .

1°. Непрерывность суммы ряда.

Теорема 1. ( Стокса-Зайдэля ) Если члены ряда непрерывны на отрезке , а сам ряд равномерно сходится на , то его сумма тоже непрерывна на отрезке .

□ Пусть – произвольная точка отрезка , причём . Докажем, что функция непрерывна в точке , т.е.

. (1)

Пусть . Согласно условию последовательность равномерно стремится к функции на отрезке (Почему?), т.е.

. (2)

Зафиксируем номер , тогда из (2) при получим

, (3)

В частности при имеем

. (4)

Функция , как сумма конечного количества непрерывных функций , является непрерывной в точке , т.е.

. (5)

Запишем равенство .

Из этого равенства, используя оценки (3)–(5), получим неравенство

,

которое имеет место ,т.е. выполняется условие (1). Поскольку – произвольная точка отрезка , то функция непрерывная на отрезке . ■ Следствие. Из доказанной теоремы следует справедливость равенства

,

т.е. при выполнении условий теоремы 1 возможен почленный предельный переход.

2°. Почленное интегрирование.

Теорема 2. (О почленном интегрировании РСФР) Если все функции непрерывны на отрезке , а ряд сходится равномерно на , то ряд (6)

также равномерно сходится на , и если

= , (7)

то

, (8)

т.е. ряд (7) можно почленно интегрировать.

□ Поскольку ряд (7) равномерно сходится к функции на отрезке , т.е. последовательность является равномерно сходящейся на , то . (9)

Пусть , – –я частичная сумма ряда (6) ( здесь все интегралы существуют, поскольку функции и непрерывные на ). Учитывая свойства интеграла, имеем . Таким образом,

,

откуда, согласно условию (9), получим

,

причём это неравенство выполняется и . Это значит, что ряд (6) сходится равномерно на отрезке и выполняется равенство (8). ■

Следствие. При выполнении условий теоремы 2 функциональные ряды можно почленно интегрировать на каждом отрезке .