
- •Глава 6. Ряды. §6.1. Свойства сходящихся рядов.
- •Пример 1. Докажем расходимость гармонического ряда, используя определение расходимости числового ряда.
- •Теорема 2. (сходимость линейной комбинации) Если ряды и – сходящиеся соответственно к суммам и , то ряд
- •Теорема 3. Ряд и каждый его остаток либо оба сходятся либо оба расходятся.
- •§6.2. Знакоположительные ряды.
- •Теорема 2. (Дирихле) Если произвольно переставить члены сходящегося знакоположительного ряда, то получится сходящийся ряд, сумма которого равна сумме исходного ряда.
- •Пример 1. Исследуем на сходимость обобщённый гармонический ряд в зависимости от числового параметра .
- •Теорема 4. (Признак сравнения) Если , (6)
- •Пример 2.
- •Теорема 5. ( Предельный признак сравнения ) Пусть и . Тогда ряды и или оба сходятся, или оба расходятся.
- •Пример 3. Пользуясь следствием исследуем на сходимость ряды 1) , 2) .
- •Теорема 6. ( Признак Даламбера ) Если для ряда (1) выполняются условия и , то : 1) при ряд (1) сходится; 2) при ряд (1) расходится.
- •Пример 4.
- •Теорема 7. ( Признак Коши ) Если для ряда (1) выполняются условия и , то : 1) при ряд (1) сходится; 2) при ряд (1) расходится.
- •Пример 5. .
- •§6.3. Знакопеременные ряды.
- •Теорема 2. ( Абеля ) Ряд (1) является сходящимся, если сходится ряд , а последовательность является мнотонной и ограниченной.
- •Теорема 3. ( Признак Лейбница ) Если последовательность монотонно стремится к нулю, то ряд (8) является сходящимся, причём
- •Пример 2. Поскольку , то , а поэтому ряд сходится. §6.4. Абсолютная и условная сходимость ряда.
- •Теорема 1. Пусть ряд является знакопеременным. Если ряд сходится, то и ряд тоже сходится.
- •Теорема 2. При произвольной перестановке слагаемых абсалютно сходящегося знакопеременного ряда получается ряд, сходящийся абсолютно к сумме исходного ряда.
- •Пример. Ряд является условно сходящимся. Пусть – его сумма.
- •Пример 1. .
- •Пример 2. .
- •Пример 3. .
- •Пример 4.
- •Теорема 2. (Критерий Коши рсфр) Для того чтобы функциональный ряд был равномерно сходящимся на множестве , необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Коши:
- •Теорема 3. ( Признак Вейерштрасса рсфр) Если функциональный ряд имеет на множестве сходящуюся числовую мажоранту, то он равномерно сходится на .
- •1°. Непрерывность суммы ряда.
- •3°. Почленное дифференцирование.
- •1°.Радиус и интервал сходимости.
- •Пример 1. Найти область сходимости степенного ряда .
- •Пример 2. .
- •2°.Свойства степенных рядов. Теорема 3. Степенной ряд сходится равномерно на каждом отрезке, который полностью содержится в его интервале сходимости.
- •Теорема 4. ( Непрерывность суммы степенного ряда ) Сумма степенного ряда является непрерывной функцией на его интервале сходимости.
- •Теорема 5. (Почленное интегрирование степенного ряда) Степенной ряд (1), сходящийся на интервале к сумме , можно почленно интегрировать на каждом отрезке , т.Е. Имеет место равенство
- •Теорема 6. (Почленное дифференцирование степенного ряда) На интервале сходимости степенной ряд можно почленно дифференцировать сколько угодно раз. При этом имеет место равенство
- •Пример 3. Вычислить сумму ряда .
- •§6.8. Ряды Тейлора.
- •1°. Ряд Тейлора .
- •Пример 1. Разложить функцию в ряд Тейлора и найти его сумму.
- •Теорема 1. ( Достаточное условие сходимости ряда Тейлора) Пусть функция является бесконечно дифференцируемой на промежутке и существует число . Тогда ряд Тейлора (2) сходится на к .
- •Теорема 2. (о единственности разложения функции в степенной ряд) Если степенной ряд имеет радиус сходимости , то его коэффициенты выражаются по формуле .
- •4) Степенной бином.
Пример 4.
, ряд сходится.
Отметим,
что согласно
необходимому
условию сходимости
имеем
.◄
Теорема 7. ( Признак Коши ) Если для ряда (1) выполняются условия и , то : 1) при ряд (1) сходится; 2) при ряд (1) расходится.
□ 1) Пусть
.
Возьмём
.
Пусть
.
Поскольку
,
то для
,
откуда
.
Поскольку
геометрический
ряд
сходится
(здесь
),
то согласно
признаку
сравнения ряд
сходится.
2) Пусть
.
Выберем
.
Тогда
,
откуда
.
Пусть
,
тогда
.
Из
расходимости
ряда
(здесь
)
следует
расходимость
ряда
(1). ■
Пример 5. .
ряд сходится.
◄
Замечание 1.
При
признаки
Даламбера
и Коши
не
работают,
т.е.
ряд может
быть
как
сходящимся,
так и расходящимся.
Например, 1)
гармонический
ряд
расходится, хотя при этом
,
а также
.
2) Для
ряда
рассмотрим
последовательность частичных
сумм
.
Ряд сходится, но при
этом
.
◄
Замечание 2. Признак Коши является более сильным, чем признак Даламбера.
Пример 6.
.
Имеем
(здесь
последовательность
),
ряд сходится
по
признаку
Коши. В
то же
время
,
т.е.
имеем
расходящуюся
последовательность:
.
Признак Даламбера не даёт
возможности
ответить
на вопрос
о
сходимости
ряда.
◄
def.
Если
,
то ряд
называется знакоотрицательным.
Замечание 3.
Из
равенства
следует,
что знакоотрицательный
ряд является сходящимся,
если и только
если знакоположительный
ряд
сходится.
§6.3. Знакопеременные ряды.
Если ряд содержит бесконечно много как положительных, так и отрицательных слагаемых, то такой ряд называется знакопеременным.
Теорема 1.
( Признак Дирихле )
Ряд
(1)
является
сходящимся, если:
1) последовательность частичных
сумм
ряда
является ограниченной,
т.е.
;
(2)
2) последовательность
является монотонной;
и
3)
.
(3)
□ Для ряда
(1) введём
следующие
обозначения:
(
–
я частичная
сумма),
(соответствующая
сумма
из
условия
Коши). Учитывая,
что при
,
преобразуем
:
Таким образом,
имеем
(4)
Пусть последовательность
является неубывающей.
Тогда
в равенстве
(4)
.
Из
равенства
(4) следует,
что
,
а из
условия
(2) имеем
.
Поэтому
.
(5)
При этом
.
С
учётом
полученного
неравенства
неравенство
(5) принимает
вид
(6)
Отметим, что условие (6) остаётся верным также, если последовательность – убывающая. Условие (3) азначает, что
.
(7)
Таким образом, из условий (6) и (7) имеем
,
или
.
В соответствии с М-Лемой для Критерия Коши ряд (1) является сходящимся. ■
Пример 1.
При
последовательность
монотонно
стремится
к нулю.
Остаётся
доказать
ограниченность
последовательности
.
Домножим
обе
части на
.
Имеем
откуда
получается
,
т.е.
последовательность
ограниченная.
Таким образом, ряд сходится
при
.
А при
имеем
,
т.е.
ряд тоже
сходится.