Пример 1. Исследуем на сходимость обобщённый гармонический ряд в зависимости от числового параметра .

 Пусть . Функция и убывающая . Поскольку интеграл является сходящимся при и расходящимся при , то ряд сходится при и расходится при .

Если , то , т.е. не выполняется необходимое условие сходимости ряда.

Таким образом, обобщённый гармонический ряд сходится при и расходится при .◄

Теорема 4. (Признак сравнения) Если , (6)

то из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда .

□ 1) Поскольку ряд является сходящимся, то согласно теореме 1 последовательность его частичных сумм является ограниченной сверху, т.е. , откуда в силу (6) имеем . Последовательность частичных сумм ряда ограничена сверху, значит ряд сходится.

2) Если же ряд расходится, то ряд должен быть расходящимся, поскольку из его сходимости следует сходимость ряда . ■

Замечание1. Согласно следствию 1 из теоремы 3 §6.1. признак сравнения остаётся верным, если условие (6) выполняется – заданное число.

Замечание2. Теорема остаётся верной, если вместо неравенства (6) выполняется условие .

Пример 2.

 Поскольку , а ряд является сходящимся (геометрический ряд, ), то в соответствии с признаком сравнения ряд – сходится.◄

Теорема 5. ( Предельный признак сравнения ) Пусть и . Тогда ряды и или оба сходятся, или оба расходятся.

□ Поскольку , то для .

Последнее двойное неравенство перепишем в виде двух неравенств . Если сходится, то из первого неравенства согласно замечанию 2 к признаку сравнения следует сходимость ряда . Если же сходится ряд , то из второго неравенства следует сходимость ряда .

Аналогично доказывается расходимость обоих рядов. ■

Замечание. Если предел , то для . Поэтому из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда . Если же , то рассуждения о сходимости или расходимости рядов следуют из условия .

Следствие. Если (т.е. ), то оба ряда или сходятся, или расходятся одновременно.

Пример 3. Пользуясь следствием исследуем на сходимость ряды 1) , 2) .

  1) Поскольку , а геометрический ряд – сходится, то ряд сходится. 2) Поскольку , а гармонический ряд расходится, то ряд расходится. ◄

Теорема 6. ( Признак Даламбера ) Если для ряда (1) выполняются условия и , то : 1) при ряд (1) сходится; 2) при ряд (1) расходится.

□ 1) Пусть . Возьмём . Пусть . Поскольку , то для . Если , то . Перемножая эти неравенства, получим . Поскольку геометрический ряд сходится (здесь ), то согласно признаку сравнения ряд сходится.

2) Пусть . Тогда существует . Для

.

Это значит, что для последовательности , откуда , т.е. ряд (1) расходится (не выполняется необходимое условие сходимости). ■