§6.2. Знакоположительные ряды.

def. Если , то ряд называется знакоположительным.

Теорема 1. (Критерий сходимости знакоположительного ряда) Если ряд знакоположительный, то он сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм , – ограничена сверху, т.е. .

□ Отметим, что , а поэтому последовательность – неубывающая. Поскольку ограниченность монотонной последовательности необходима и достаточна для её сходимости, то последовательность , а вместе с ней и ряд (1) сходятся. ■

Раньше мы доказали (Теорема 4 §6.1.), что в сходящемся ряде можно произвольно группировать слагаемые, не переставляя их. При этом такое группирование не изменяет сумму ряда.

Следующая теорема даёт ответ на возможность изменения порядка следования слагаемых в сходящемся ряда, что является аналогом свойства коммутативности суммы .

Теорема 2. (Дирихле) Если произвольно переставить члены сходящегося знакоположительного ряда, то получится сходящийся ряд, сумма которого равна сумме исходного ряда.

□ Пусть есть сумма сходящегося знакоположительного ряда . Переставим яго слагаемые произвольным образом и получим ряд . Пусть – яго частичная сумма. Для каждого можно найти сумму , которая содержит каждое слагаемое суммы ( – найбольший номер слагаемого из , под которым он находится в ряде ). Поскольку слагаемые неотрицательные, то , . При этом ( как предел неубывающей последовательности). Таким образом,

. (1)

Это означает ограниченность , а тем самым сходимость ряда .

Покажем далее, что ряды и имеют равные суммы. Если , то . Таким образом, имеет место . (2)

Если теперь выбрать в качестве исходного ряд и в результате переставления слагаемых прийти к ряду , то аналогично получим . ( ) Из неравенств (2) и ( ) следует, что . ■

Теорема 3.(Критерий Коши-Маклорена или интегральный критерий сходимости ) Если функция неотрицательна и невозрастающая на промежутке , то для сходимости ( расходимости ) ряда (3) необходимо и достаточно, чтобы несобственный интеграл (4) был сходящимся ( расходящимся ).

□ Пусть . Поскольку является невозрастающей , то она интегрируемая на каждом отрезке , причём

.

После интегрирования последнего неравенства на отрезке получим (здесь ). Взяв в этом неравенстве значенния и сложив полученные неравенства, имеем , что равносильно неравенствам . (5)

( Необходимость ) Пусть ряд (3) является сходящимся, т.е. , причём . Из правой части неравенства (5) следует , т.е. последовательность ограничена сверху, . Поскольку , то последовательность является неубывающей. А поскольку она ограничена сверху, то последовательность сходится, а поэтому интеграл (4) также сходится.

( Достаточность ) Пусть интеграл (4) сходится, т.е. . Тогда имеют место неравенства (поскольку – неубывающая). Из левой части неравенства (5) имеем . Таким образом, последовательность частичных сумм ограничена сверху ряд (3) является сходящимся. Критерий сходимости доказан.

Из доказанного получаем, что из расходимости интеграла (4) следует расходимость ряда (3), поскольку если бы ряд (3) был сходящимся, то интеграл (4) тоже был бы сходящимся. ■