21. Понятие дифференциального уравнения первого порядка и его решение. Интегральные кривые

Интегральной кривой называется график решения дифференциального уравнения.

Одной из основных задач является также задача Коши - задача отыскания

частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным

начальным условиям x y G 0 0 , или интегральной кривой, проходящей через заданную

точку x y G 0 0 , .

21. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Уравнение с разделяющимися переменными имеет вид

.

В этом уравнении переменные «можно разделить», т.е. функции от x и dx собрать в правую часть, а функции от y и dy – в левую часть. Затем интегрируем полученное соотношение и получаем соотношение вида .

.

Пример. . Заметим, что - решение, это так называемое тривиальное решение. Только, проанализировав, является ли решением или нет, мы имеем право, разделив обе части на , двигаться дальше. Иначе тривиальное решение будет потеряно.

.

Здесь нельзя потерять модуль, иначе потеряем решения при .

.

Обозначим и раскроем модуль:

.

Заменим и разрешим С быть равной нулю, т.к. тривиальное решение есть. Окончательно,

, где С – произвольная действительная постоянная.

Обычно все эти «подводные камни» опускают (достаточно сказать о них один раз) и сразу выписывают решение уравнения .

Пример. Найти кривую, проходящую через точку , если угловой коэффициент касательной к кривой в три раза больше углового коэффициента радиус-вектора в точке касания.

- решение, . Подставляя начальные условия, получим .

Пример. Формула Циолковского.

Ракета вместе с топливом, массой , движется прямолинейно, без учета гравитации. Скорость истечения топлива , в начальный момент времени ракета неподвижна и имеет вместе с топливом массу M. Вывести формулы для скорости ракеты .

Выделим элемент массы dm. По закону сохранения количества движения

Подставляя , получим . Отсюда

- формула Циолковского.

21. Однородные дифференциальные уравнения

26. ЛДУ 1-го порядка.

Дифференциальным уравнением называется уравнение относительно независимой переменной, неизвестной функции и ее производных.

Дифференциальное уравнение общего вида выглядит следующим образом:

. Здесь x – независимая переменная, y(x) – неизвестная функция.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в уравнение.

Если, пользуясь теоремой о неявной функции, из уравнения общего вида удается выразить явно старшую производную, то такое уравнение называется уравнением, разрешенным относительно старшей производной.

.

Дифференциальные уравнения первого порядка.

Дифференциальное уравнение первого порядка общего вида выглядит следующим образом:

.

Предположим, что дифференциальное уравнение удалось разрешить относительно производной: или

.

Функция называется решением дифференциального уравнения первого порядка, если при подстановке этого решения в уравнение получаем тождество.

.

Функция называется общим решением дифференциального уравнения первого порядка в области , если

• при любой постоянной функция является решением,

• для любого набора начальных условий существует константа такая, что , т.е. существует решение из семейства (при ), удовлетворяющее этим начальным условиям.

Одной из основных задач является задача отыскания общего решения дифференциального уравнения

Если зафиксировать постоянную в общем решении, мы получим частное решение дифференциального уравнения первого порядка.

Функция называется первым интегралом дифференциального уравнения, если она сохраняет свои значения на его решениях ( =С).

По сути дела, это – закон сохранения (функция сохраняет значения на решениях дифференциального уравнения).

Интегральной кривой называется график решения дифференциального уравнения.

Одной из основных задач является также задача Коши - задача отыскания частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям или интегральной кривой, проходящей через заданную точку .