1. Первообразная

Определение: Первообразной от функции f(x) в данном интеграле называется функция F(x), производная которой равна данной функции:

F’(x) = f(x)

Теорема: Всякая непрерывная функция имеет бесчисленное множество первообразных, причем любые две из них отличаются друг от друга только постоянным слагаемым.

FxCFxCf x

Определение: Отыскание первообразных называется неопределенным интегрированием, а выражение, охватывающее множество всех первообразных от данной функции f(x) называется неопределенным интегралом от f(x) и обозначается так: ∫f(x)dx.

Свойства:

(∫f(x)dx)' = f(x)

d∫f(x)dx =f(x)dx

∫f’(x)dx = f(x)+C

∫df(x) = f(x)+C

2. Неопределённый интеграл и его свойства.

Неопределенным интегралом (интеграл от функции по ) называется совокупность всех первообразных функций для функции .

.

Функция , стоящая под знаком интеграла, называется подинтегральной функцией, а выражение - подинтегральным выражением..

Свойства неопределенного интеграла.

Свойства неопределенного интеграла можно условно разделить на две группы. В первую группу собраны свойства, вытекающие из того, что интегрирование – операция, обратная дифференцированию. Во вторую группу собраны свойства линейности. Эти свойства вытекают из того, что интегрирование, как и дифференцирование – линейная операция и определяют линейную операцию.

Первая группа свойств.

1. .

2. 

3. 

4. .

Докажем первое свойство.

Так как

Здесь - первообразная для .

Докажем второе свойство.

Обозначим Тогда , а по первому свойству. Поэтому функции являются первообразными для функции . Следовательно, по теоремам о первообразных, они различаются на константу, т.е. или

Третье свойство следует из первого:

Четвертое свойство следует из второго, если вспомнить, что с дифференциалом первого порядка можно обращаться как с алгебраическим выражением (свойство инвариантности формы записи первого дифференциала).

Поэтому надо доказать два первых свойства.

Вторая группа свойств.

1. свойство суперпозиции

2. свойство однородности .

Доказательства того и другого свойств проводятся аналогично. Дифференцируем (по свойствам первой группы) левую и правую часть равенства, приходим к тождеству. Затем из теорем о первообразных заключаем, что левая и правая часть равенства, как первообразные одной и той же функции, различаются на константу. Эта константа может быть формально включена в неопределенный интеграл в левой или правой части равенства.

Для того, чтобы вычислить интеграл от функции, проще всего «угадать» первообразную для этой функции по таблице для производных, переписав эту таблицу в обратном порядке. Запишем интегралы для основных элементарных функций.

1. . Эти формулы лучше запомнить, они очень часто встречаются.

2. 

3. 

4. 

Справедливость этих формул легко проверить, дифференцируя правую часть соотношения и получая подинтегральную функцию.

3. Правила интегрирования

1. Вынесение функции из-под знака дифференциала. Пример: 2. Внесение функции под знак дифференциала.  , где   , т.е. является первообразной  . Пример: [ Найдем первообразную функции     ] Итог:  3. Множитель-константу можно выносить за знак дифференциала и вносить под него (частный случай первого и второго правил). Пример: . 4. Под знаком дифференциала можно прибавлять или отнимать любую константу (частный случай второго правила). Пример: