Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Аналитическая геометрия.doc
Скачиваний:
43
Добавлен:
02.05.2014
Размер:
614.4 Кб
Скачать

1 Преобразование систем координат

1.1 Параллельный переносx=x’+x0; y=y’+y0

1.2 Поворот x=r*cos(a+φ) x=r*cosφ*cosa-r*sinφ*sina

y=r*sin(a+φ) y=r*cosφ*sina+r*sinφ *cosa

x=x’*cosa-y’*sina+x0;

y=x’*sina+y’*cosa+y0

2 Параметрическое Ур-е прямой

r =r0+at; x=x0+lt;y=y0+mt

3 Каноническое Ур-е прямой

t=(x-x0)/l=(y-y0)/m

4 Ур-е прямой проходящей через 2 заданные точки

(x-x0)/(x1-x0)=(y-y0)/(y1-y0); M0(x0,y0),M1(x1,y1)-точки на пр

5 Ур-е прямой в отрезках на осях

(x-a)/(0-a)=(y-0)/(b-0);

-(x/a)+1=y/b=>

x/a+y/b=1

6 Взаимное расположение 2-х прямых на плоскости

Матрица: A1x+B1y+C1=0 N1=(A1,B1)

A2x+B2y+C2=0 N2=(A2,B2)

6.1 Параллельны(rangA=1,rangA(расш)=2,N1||N2, N1=λN2, C1≠λC2)

6.2 Совпадают(rangA=rangA(расш)=1,N1=λN2,C1=λC2)

6.3Пересекаются(rangA=rangA(расш)=2, N1 || N2, cosφ=(N1N2)/(|N1|*|N2|))

7 Расстояние от точки до прямой на плоскости

d=|Ax1+By1+C|/√(A2+B2)

8 Параметрическое Ур-е плоскости

M0M=au+bδ; r=r0+au+bδ a=(a1,a2,a3); b=(b1,b2,b3)- направл векторы. x=x0+a1u+b1δ; y=y0+a2u+b2δ; z=z0+a3u+b3δ M0(x0,y0,z0)-точка на плоскости

9 Ур-е плоскости проходящей через 3 точки

x-x1 y-y1 z-z1

x2-x1 y2-y1 z2-z1 =0 (посчитать определитель)

x3-x1 y3-y1 z3-z1

10 Ур-е плоскости в отрезках

x/a+y/b+z/c=1

11 Взаимное расположение плоскостей

A1x+B1y+C1z+D1=0

A2x+B2y+C2z+D2=0

11.1 Параллельны(rangA=1,rangA(расш)=2)

11.2 Совпадают(rangA=rangA(расш)=1)

11.3 Пересекаются по прямой(rangA=rangA(расш)=2, cosφ=(N1N2)/(|N1|*|N2|))

12 Расстояние от точки до плоскости

d= |(A(x1-x)+B(y1-y)+C(z1-z))/(√A2+B2+C2)| = |(Ax1+By1+Cz1+D)/√A2+B2+C2|; D=-Ax-By-Cz

13 Ур-е прямой в пространстве

A1x+B1y+C1z+D1=0 rangA=rangA(расш)=2

A2x+B2y+C2z+D2=0

14 Параметрическое Ур-е прямой в пространстве

x=x0+lt M0M||a=>M0M=at;r-r0=at;r=r0+at

y=y0+mt

z=z0+ht

15 Каноническое Ур-е прямой в пространстве

(x-x0)/l=(y-y0)/m=(z-z0)/n

16 Ур-е прямой проходящей через 2 заданные точки

(x-x0)/(x1-x0)=(y-y0)/(y1-y0)=(z-z0)/(z1-z0)

17 Расстояние от точки до прямой в пространстве

d=|[a,M0M]|/|a|

18 Расстояние между скрещивающимися прямыми

строим паралелепипид; расстояние меж М1 и М2 –это высота паралелепипида; d=V/Sосн= |(a1,a2,M1M2)|/|[a1,a2]|

19 Угол между прямой и плоскостью

sina=|cos((ПИ/2)-a)|=|cosN^a|= |(N,a)/(|N|*|a|)|

20 Эллипс

Это множество точек плоскости сумма расстояний от которых до 2-х заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.x2/a2+y2/b2=1; a-большая полуось, b-малая полуось.Свойства:

20.1 Пересечение с осями координат Ox: y=0 =>x=±a; A1(a,0), A2(-a,0); Oy: x=0 => y=±b; B1(0,b) B2(0,-b); A1,A2,B1,B2-верш

20.2 Симметрия относительно осей M’(x,-y)Є Эллипсу; M(x,y)Є Эллипсу =>симметричен относительно Ox; M’’(-x,y)Є Эллипсу; M’’’(x,y)Є Эллипсу => симметричен относительно Oy; O- центр симметрии.

20.3 Эллипс лежит в конечной части плоскости x2/a2=1-y2/b2 >=0; y2<=b2 ;-b<=y<=b; -a<=x<=a; a2-c2=b2;

B1(0,b)

√(x-c)2+y2+√(x-c)2+y2=2a

20.4 x2+y2=a2; x=x’; y=(a/b)y’;(x’)2+(a2/b2)/y’2=a2; x’2/a2+y’2/b2=1

20.5 Параметрическое Ур-е эллипса

x=acost x2/a2+y2/b2=1

y=bsint 0<=t<=2ПИ

20.6 Эксцентриситет эллипса ε=c/a; для окружн ε=0

(F1(c,0), F2(-c,0))

20.7 x=±(a/ε)- директрисы