2.4. Структура общего решения лоду 2-го порядка
Теорема.
Если
и
–
линейно независимые решения линейного
однородного дифференциального уравнения
(2.3), то их линейная комбинация
,
где
и
– произвольные
постоянные, является общим решением
этого уравнения.
В данном случае говорят, что функции и образуют фундаментальную систему решений ЛОДУ (2.3).
Доказательство.
Первая часть
утверждения, касающаяся того, что
есть
решение уравнения (2.3), следует из теоремы
о свойствах решений ЛОДУ 2-го порядка.
Остаётся показать, что решение
будет общим,
т.е. надо показать, что при любых начальных
условиях
,
можно выбрать произвольные постоянные
и
так, чтобы
удовлетворить этим условиям. Запишем
начальные условия в виде:
Постоянные
и
из этой
системы линейных алгебраических
уравнений определяются однозначно, так
как определитель этой системы
является определителем Вронского для
линейно независимых решений ЛОДУ при
:
,
а такой определитель, как было показано в предыдущем разделе, отличен от нуля. Теорема доказана.
Пример.
Доказать, что функция
,
где
и
– произвольные
постоянные, является общим решением
ЛОДУ
Решение. Легко
убедиться непосредственной подстановкой,
что функции
и 
удовлетворяют данному уравнению. Эти
функции являются линейно независимыми,
так как
.
Поэтому согласно теореме о структуре
общего решения ЛОДУ 2-го порядка функция
является общим решением данного
уравнения.
2.5. Лоду 2-го порядка с постоянными коэффициентами
Рассмотрим ЛОДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами
(5.1),
где
.
Согласно предыдущему
параграфу общее решение ЛОДУ 2-го порядка
легко определяется, если известны два
линейно независимых частных решения
этого уравнения. Простой метод нахождения
частных решений уравнения с постоянными
коэффициентами предложил Л. Эйлер. Это
метод, который называется методом
Эйлера,
состоит в том, что частные решения ищутся
в виде
.
Подставляя эту функцию в уравнение
(5.1), после сокращения на
,
получим алгебраическое уравнение,
которое называется характеристическим:
(5.2)
Функция
будет решением уравнения (5.1) только при
тех значениях
,
которые являются корнями характеристического
уравнения (5.2). В зависимости от величины
дискриминанта
возможны три случая.
.
Тогда корни характеристического
уравнения различны:
.
Решения
и
будут линейно независимыми, так как
и общее решение уравнения (5.1) можно
записать в виде
.
.
В этом случае
и
.
В качестве второго линейно независимого
решения можно взять функцию
.
Проверим, что эта функция удовлетворяет
уравнению (5.1).
Действительно,
,
.
Подставляя эти выражения в уравнение (5.1), получим:
или
,
так
как
и
.
Частные решения
и
линейно независимы, так как
.
Следовательно, общее решение уравнения
(5.1) имеет вид:
или
.
.
В данном случае корни характеристического
уравнения комплексно-сопряжены:
,
где
,
.
Легко проверить, что линейно независимыми
решениями уравнения (5.1) будут функции
и
.
Убедимся, что уравнению (5.1) удовлетворяет,
например, функция
.
Действительно,
,
.
Подставив эти выражения в уравнение (5.1), получим
.
Выражения в обеих скобках в левой части этого равенства тождественно равны нулю. Действительно,
,
.
Таким образом,
функция
удовлетворяет уравнению (5.1). Аналогично
нетрудно убедиться в том, что и
есть решение уравнения (5.1). Поскольку
,
то общее решение
будет иметь вид:
.