1.8. Уравнение Бернулли
Определение. Дифференциальное уравнение вида
,
где
,
,
называется уравнением
Бернулли.
Предполагая,
что
,
разделим обе части уравнения Бернулли
на
.
В результате
получим:
. (8.1)
Введём новую
функцию
.
Тогда
.
Умножим обе части
уравнения (8.1) на
и перейдем к функции z(x):
,
т.е.
для функции z(x)
получили линейное неоднородное уравнение
1-го порядка. Это уравнение решается
методами, разобранными в предыдущем
разделе 1.7.
Подставим в его общее решение вместо
z(x)
выражение
,
получим общий интеграл уравнения
Бернулли, который легко разрешается
относительно y.
При
добавляется решение
.
Уравнение Бернулли можно также решать,
не делая перехода к линейному уравнению
путём подстановки
,
а применяя метод Бернулли, подробно
разобранный в 1.7.
Рассмотрим применение этого метода для
решения уравнения Бернулли на конкретном
примере.
Пример. Найти общее решение уравнения:
. (8.2)
Решение.
Уравнение
(8.2) является уравнением Бернулли, причём
.
Будем искать решение уравнения в виде . Тогда
.
В левой части
последнего уравнения сгруппируем второе
и третье слагаемые, которые содержат
функцию u(x),
и потребуем, чтобы
,
откуда
.
Тогда для функции u(x)
получим уравнение:
,
или
.
Последнее уравнение является уравнением с разделяющимися переменными для функции u(x). Решая его, получим:
,
,
.
Следовательно, общее решение уравнения (8.2) имеет вид:
.
1.9. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Определение. Если в уравнении
(9.1)
левая
часть есть полный дифференциал некоторой
функции
,
то оно называется уравнением
в полных дифференциалах.
Это уравнение можно переписать в виде
,
следовательно, его общий интеграл есть
.
Например, уравнение
есть уравнение
в полных дифференциалах, так как его
можно переписать в виде
.
А значит,
общий интеграл
задаётся равенством
.
Теорема. Предположим, что функции M и N определены и непрерывны в некоторой односвязной области D и имеют в ней непрерывные частные производные соответственно по y и по x. Тогда, для того чтобы уравнение (9.1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось тождество
. (9.2)
Доказательство. Доказательство необходимости этого условия очевидно. Поэтому докажем достаточность условия (9.2).
Покажем, что может
быть найдена такая функция
,
что
и
.
Действительно,
поскольку
,
то
, (9.3)
где
– произвольная дифференцируемая
функция.
Продифференцируем равенство (9.3) по y:
.
Но , следовательно,
.
Положим
,
тогда
.
Итак, построена функция
,
для которой
, а .
Пример. Найти общий интеграл уравнения:
.
Решение. В данном случае
Тогда
.
Следовательно,
заданное дифференциальное уравнение
1-го порядка является уравнением в полных
дифференциалах, т.е. существует такая
функция
,
частные производные которой соответственно
по x
и
y
равны
и
:
.
Проинтегрируем первое из двух соотношений по x:
,
.
Теперь продифференцируем
по y
и приравняем полученное в результате
выражение частной производной
:
.
Отсюда
и
.
Следовательно, общим интегралом заданного
уравнения является:
.