1.3. Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными

Определение. Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида

(3.1)

или уравнение вида

. (3.2)

Чтобы в уравнении (3.1) разделить переменные, т.е. привести это уравнение к так называемому уравнению с разделёнными переменными, необходимо множители, содержащие переменную x перенести в одну сторону уравнения, а множители, содержащие переменную y, – в другую, а именно:

.

Остается проверить, не потеряны ли решения при делении на выражения, зависящие от переменных. Для этого необходимо решить уравнение . Если оно имеет вещественное решение , то тоже будет решением уравнения (3.1).

Уравнение (3.2) приводится к уравнению с разделёнными переменными делением на произведение :

,

что позволяет получить общий интеграл уравнения (3.2):

. (3.3)

Функции (3.3), определяющие интегральные кривые, будут дополнены решениями , если такие решения существуют.

Пример. Решить уравнение: .

Решение. Разделяем переменные:

; .

Интегрируя, получаем

.

Из уравнений и находим , , . Непосредственной подстановкой этих функций в исходное уравнение убеждаемся, что эти решения – частные решения.

1.4. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка

Определение 1. Уравнение 1-го порядка называется однородным, если для его правой части при любых справедливо соотношение , называемое условием однородности функции двух переменных нулевого измерения.

Пример 1. Показать, что функция – однородная нулевого измерения.

Решение.

, ,

что и требовалось доказать.

Теорема. Любая функция – однородна и, наоборот, любая однородная функция нулевого измерения приводится к виду .

Доказательство. Первое утверждение теоремы очевидно, так как . Докажем второе утверждение. Положим , тогда для однородной функции

,

что и требовалось доказать.

Определение 2. Уравнение

, (4.1)

где M и N – однородные функции одной и той же степени, т.е. обладают свойством при всех , называется однородным.

Очевидно, что уравнение (4.1) всегда может быть приведено к виду

, (4.2)

хотя для его решения можно этого и не делать.

Однородное уравнение (4.1) приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью замены искомой функции y по формуле , где – новая искомая функция. Выполнив эту замену в уравнении (4.2), получим:

(4.3)

или

,

т.е.

.

Интегрируя последнее равенство, получаем общий интеграл уравнения (4.3) относительно функции

,

который после повторной замены даёт общий интеграл исходного уравнения (4.2). Кроме того, если – корни уравнения , то функции (где ) – решения однородного уравнения (4.2). Если же , то уравнение (4.2) принимает вид

и становится уравнением с разделяющимися переменными. Его решениями являются функции, определяющие на плоскости полупрямые:

.

Замечание. Иногда целесообразно вместо указанной выше замены использовать замену .

1.5. Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным

Рассмотрим уравнение вида

. (5.1)

Если , то уравнение (5.1) с помощью замены , где и – новые переменные, а и – некоторые постоянные числа, определяемые из системы

,

приводится к однородному уравнению

.

Если , то уравнение (5.1) принимает вид:

.

Сделав замену , получим уравнение, не содержащее независимую переменную.

Пример 1. Проинтегрировать уравнение

и выделить интегральную кривую, проходящую через точки:

а) (2; 2); б) .

Решение. Положим . Тогда

и

.

Сокращая на и собирая члены при dx и dz, получим:

.

Разделим переменные:

.

Интегрируя, получим:

;

или

, где .

Заменяя z на , получим общий интеграл исходного уравнения в виде

или, что то же самое,

. (5.2)

Равенство (5.2) определяет семейство окружностей

.

Центры указанных окружностей лежат на прямой и в начале координат касаются прямой . Функция , в свою очередь, является частным решением заданного дифференциального уравнения.

Определим, какие из найденных окружностей, удовлетворяют начальным условиям, т.е. решим задачи Коши:

а) полагая в общем интеграле , , находим , поэтому искомой кривой является окружность ;

б) ни одна из окружностей (5.2) не проходит через точку . Зато полупрямая проходит через эту точку, а значит, соответствующая функция и даёт искомое решение.

Пример 2. Решить уравнение: .

Решение. Исходное уравнение является частным случаем уравнения (5.1).

Определитель в данном случае не равен нулю, поэтому сначала рассмотрим систему .

Решая указанную систему, получим, что .

Выполняя в заданном уравнении замену , приходим к однородному уравнению

.

Интегрируя последнее уравнение после подстановки , находим . Возвращаясь к старым переменным x и y по формулам , имеем .