4.4. Лос ду с постоянными коэффициентами
Линейная однородная система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами имеет вид
(4.11)
где
– некоторые постоянные. Система (4.11)
имеет фундаментальную систему решений,
состоящую из элементарных функций.
Основным методом построения фундаментальной
системы решений для системы (4.11) является
метод Эйлера.
Согласно этому методу, решение ЛОС ДУ
ищется в виде
.
Продифференцируем обе функции по x и подставим в уравнения системы (4.11):
.
Сокращаем оба уравнения системы на :
(4.12)
Так как
– некоторые постоянные числа, подлежащие
определению, среди которых хотя бы одно
отлично от нуля, то определитель системы
(4.12) должен быть равен нулю
. (4.13)
Уравнение (4.13) называется характеристическим уравнением, а его корни – характеристическими числами системы (4.11). Каждому из корней характеристического уравнения соответствует хотя бы одно частное решение указанного выше вида. Различают три случая.
Оба корня характеристического уравнения вещественны и различны:
ℝ,
.
Подставляем
в одно из уравнений системы (4.12), например,
в первое уравнение:
Из него с точностью до константы
определяем
,
откуда получаем первое решение ЛОС ДУ:
.
То же самое
проделываем со вторым корнем
характеристического уравнения
и в результате получаем второе, линейно
независимое на
с первым, решение ЛОС ДУ:
.
Следовательно, согласно теореме 2 раздела 4.3. общим решением системы (4.11) будет следующее семейство функций:
,
.
2. Если
– корень характеристического уравнения,
то
.
Подставляем
в одно из двух уравнений системы (4.12) и
с точностью до постоянной получаем
.
Теперь составляем первое решение системы
(4.11):
,
.
Отделив вещественную
и мнимую части, получим два вещественных
линейно независимых частных решения
системы (4.11), соответствующих корню
.
Решения, соответствующие корню
,
будут линейно зависимы с решениями,
соответствующими корню
.
Итак, общее решение ЛОС ДУ в этом случае примет вид:
.
3. 
.
В случае кратного корня характеристического
уравнения необходимо представить общее
решение системы уравнений (4.11) в следующем
виде:
,
где
– постоянные числа, причём
и
должны быть выражены через
и
.
Пример. Найти общее решение системы:
.
Решение:
Будем искать решение в виде
.
Характеристическое уравнение:
.
Его корни:
.
Следовательно,
.
Продифференцируем
y(x)
и подставим
в первое уравнение исходной системы:
.
Отсюда после
сокращения на
получаем
.
Приравняем
в этом тождестве множители при одинаковых
степенях x.
В результате получим:
.
Итак, общее решение заданной системы уравнений имеет вид:
где и – произвольные постоянные.
4.5. Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений (лнс ду)
Определение 1. Линейной неоднородной системой дифференциальных уравнений (ЛНС ДУ) называется система уравнений следующего вида
(4.14)
где
– заданные непрерывные на интервале
функции.
Теорема 1. Общее решение ЛНС ДУ (4.14) представляет собой сумму общего решения соответствующей ЛОС ДУ (4.5) и какого-либо частного решения системы (4.14):
(4.15)
Доказательство.
Прежде всего докажем, что система уравнений (4.15) определяет решение ЛНС ДУ (4.14). Для этого, подставим выражение (4.15) в первое уравнение системы (4.14) и покажем, что в результате получится тождество.
,
т.е.
имеем
.
Аналогичный вывод имеет место и для второго уравнения системы (4.14).
Во второй части доказательства докажем, что выражения (4.15) дают общее решение ЛНС. Для этого надо показать, что всегда найдутся числа такие, что выделенное из семейства (4.15) частное решение будет удовлетворять начальным условиям
(4.16)
Согласно теореме 2 раздела 4.3. выражения (4.15) можно переписать в виде:
(4.17)
где и образуют фундаментальную систему решений ЛОС ДУ. Подставим в систему (4.17) начальные условия:
или
(4.18)
Определитель этой системы уравнений есть определитель Вронского
,
но
согласно теореме 1 пункта 4.3.
,
следовательно, система уравнений (4.18)
имеет решение и притом единственное:
.
Теорема доказана.