3.2. Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами

Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами имеет вид:

, (3.3)

где – постоянные вещественные числа. Это уравнение имеет фундаментальную систему решений , определённую при всех x и состоящую из степенных, показательных и тригонометрических функций. Соответствующее этой системе функций общее решение

определено в области , , , …, , т.е. во всём пространстве .

Построение фундаментальной системы решений ЛОДУ проводится методом Эйлера, который состоит в том, что частное решение ЛОДУ ищется в виде , где – некоторое число, подлежащее определению. Подставляя эту функцию в уравнение (3.3) и сокращая на , получим характеристическое уравнение:

. (3.4)

Его корни называются характеристическими числами уравнения (3.3). Рассмотрим возможные ситуации, возникающие при решении характеристического уравнения.

1. Все корни характеристического уравнения (3.4) различны и вещественны. Обозначим их . Тогда фундаментальную систему решений составляют функции: , а общее решение имеет вид:

.

2. Все корни характеристического уравнения (3.4) различны, но среди них имеются комплексные. Пусть – комплексный корень характеристического уравнения. Тогда тоже будет корнем этого уравнения. Этой паре корней соответствует пара линейно независимых частных решений:

,

.

Записав линейно независимые частные решения, соответствующие другим сопряжённым парам комплексных корней и всем вещественным корням, получим фундаментальную систему решений. Линейная комбинация этих решений с произвольными постоянными коэффициентами даст общее решение уравнения (3.3).

3. Среди корней характеристического уравнения имеются кратные. Пусть – вещественный k-кратный корень. Тогда ему соответствует k линейно независимых частных решений вида , а в формуле общего решения – выражение вида .

4. Если – комплексный корень характеристического уравнения кратности k, то ему и сопряжённому с ним корню той же кратности соответствуют 2k линейно независимых частных решений вида:

В формуле общего решения этим корням соответствует выражение вида:

.

Записав линейно независимые частные решения указанного выше вида, соответствующие всем простым и кратным вещественным корням, а также сопряжённым парам простых и кратных комплексных корней, получим фундаментальную систему решений. Линейная комбинация этих решений с произвольными постоянными коэффициентами даст общее решение уравнения (3.3).

4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

4.1. Нормальные системы

Определение 1. Нормальная система обыкновенных дифференциальных уравнений имеет следующий вид:

, (4.1)

где , – неизвестные функции от независимой переменной x, подлежащие определению; , – известные функции от , заданные и непрерывные в некоторой области. Число n называется порядком системы (4.1). В дальнейшем ограничимся рассмотрением систем второго порядка ( ).

Определение 2. Пусть дана нормальная система уравнений

(4.2)

где и – заданные непрерывные в некоторой области функции. Пара функций , определённых на интервале , имеющих непрерывные производные и удовлетворяющих на обоим уравнениям системы (4.2), называется её решением.

Задача нахождения решения , удовлетворяющего начальным условиям , где – заданные числа (начальные данные), называется задачей Коши.

Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Пусть дана система уравнений (4.2) и пусть в некоторой области D(x, y, z) функции и непрерывны и имеют непрерывные частные производные по y, z. Пусть точка . Тогда существуют интервал и определённые на нем непрерывно дифференцируемые функции , удовлетворяющие системе уравнений (4.2) и начальным условиям , причём эти функции определяются однозначно.