9.3 Двойственная задача

Запишем транспортную задачу в матричном виде

A- матрица ограничений, имеющая в соответствии с векторами х и b вид :

Двойственная задача к транспортной задаче в матричном виде будет иметь вид

у- произвольного знака.

Распишем двойственную задачу в скалярном виде. Обозначим компоненты вектора

Тогда

и ограничения двойственной задачи будут иметь вид :

или в общем виде двойственная задача

Двойственные переменные ai, i=1,...,m, bj, j=1,...,n, называются платежами, а - псевдостоимость перевозок единицы груза из пункта i в пункт j, i=1,...,m, j=1,...,n.

9.4 Теоремы двойственности

ИЗ теории двойственности ЛП практический интерес представляет вторая теорема двойственности, из которой получается следующий критерий.

Критерий оптимальности транспортной задачи

План перевозок

является оптимальным планом тогда и только тогда, когда найдется система платежей

для которой выполняются условия :

Доказательство. Сформулируем вторую теорему двойственности в терминах переменных транспортной задачи.

Если

удовлетворяют ограничениям прямой задачи, а

удовлетворяют ограничениям двойственной задачи, то для оптимальности плана

необходимо и достаточно выполнение условий

Условие а) выполняется для любых допустимых решений прямой задачи, так как

Условие b) можно расписать как следствие о дополняющей нежесткости, а именно

Итак, для базисных переменных

имеем равенство

 

а для небазисных переменных достаточно выполнения допустимости двойственных переменных

 Таким образом имеем условия 1) и 2) критерия. Критерий доказан.

9.5 Построение опорного плана транспортной задачи

Методы решения транспортной задачи сводятся к простым операциям с транспортной таблицей, которая имеет вид:

Базисными клетками транспортной таблицы являются клетки с от- личными от нуля положительными перевозками, остальные клетки - свободные. Базисные клетки образуют опорный план транспортной задачи, если выполняются два условия:

1) сумма перевозок в каждой строке равна запасу в данной строке;

2) сумма перевозок в каждом столбце равна соответствующему столбцу спросу

Опорный план транспортной задачи содержит не более n+m-1 отличных от нуля перевозок

Опорный план называется вырожденным, если число ненулевых перевозок  меньше и n+m-1, опорный план - невырожден, если число ненулевых перевозок равно n+m-1.

Рассмотрим способы построения опорного плана в невырожденном и вырожденном случаях.

9.6 Метод севево-западного угла

Рассмотрим "северо-западный угол" незаполненной таблицы, то есть клетку, соответствующую первому поставщику и первому потребителю.

Возможны три случая.

Это означает, что первый поставщик отгрузил весь произведенный продукт первому потребителю и его запас равен нулю, поэтому

При этом неудовлетворенный спрос в первом пункте потребления равен

то есть спрос первого потребителя полностью удовлетворен и поэтому

а остаток продукта в первом пункте производства равен

из рассмотрения можно исключить и поставщика, и потребителя. Однако при атом план получается вырожденным, поэтому условно считается, что выбывает только поставщик,

а спрос потребителя остается неудовлетворенным и равным нулю.

После этого рассматриваем северо-западный угол оставшейся не- заполненной части таблицы и повторяем те же действия. В результате через n+m-1 шагов получим опорный план.