Понятия о свободных, затухающих, вынужденных прямолинейных колебаниях материальной точки. Дифф уравнения этих колебаний и их решения.

свободные колебания описаны в предыдущем вопросе

затухающие колебания(свободные колебания при наличии вязкого трения)-

востанавливающая сила F(x)+ сила сопротивления R(x)

F(x)=-cx R(x)= -мx

дифф уравнение mx``== - мx`-cx

x``+(м/m)x`+K^2x=0 уравнение затухающих колебаний

(м/m)=2b

x``+2bx`+K^2x=0

Z^2+2bZ+K^2=0 характерестическое уравнение

z1,2= -b+-sqrt(b^2-k^2)

1случай b^2>>k^2 тогда корни действительные

x=C1e^(z1t)+C2e^(z2t)

2случай k^2>b^2

k^2-b^2=k1^2

z1,2=-b+-ik1

x=C1e^((-b+ik1)t)+C2e^((-b-ik1)t)

x=e^(-bt) * (C1sink1t+C2cosk1t)

x=Asin(kt+fi)

когда k^2>>>b^2 то k примерно равно k1

движения точки в данном случаи не являются периодическими, так как с временем максимальные отклонения точки от положения равновесия уменьшаются.

период затухающих колебаний 2П/k1 - промежуток времени между двумя любыми последующими отклонениями есть постоянная величина

T*=2П/k1=2П/sqrt(k^2-b^2)

вынужденные колебания материальной точки -

востанавливающая сила F(x)+ возмущающая сила Q(t)

F(x)=-cx Qx=Qx(t)

x``+k^2 x=(Qo/m)sin(pt) неоднородное уравнение второго порядка

x(t)=x1(t)+x2(t)

x``+k^2 x=(Qo/m)sin(pt) x2(t)=B sin(pt)

B=(Qo/m)

-Bp^2 sinpt+k^2 Bsin(pt)=A sin(pt)

сокращаем sin(pt)

B=A/(k^2-p^2)

x(t)=(C1 sinkt+C2 coskt) + (A/(k^2-p^2))*sin(pt)

при p2 -> k^2 возникает увеличение A - резонанс