4.Постановка задачи Коши. Теорема Ковалевской

Б удем рассматривать линейное ур-ние 2-го порядка. Любое линейное ур-ние можно записать в виде:L[n]= (1)

В пространстве зададим незамкнутую без самопересечений поверхность Γ ур-нием g( )=0

Причем будем считать что ф-ция g является дважды непрерывно дифференцируемой: g( и считаем такие, что grad :

grad g( )=( ).Обозначим через часть поверхности Γ, лежащей в области D,т.е. .

Будем предполагать, что область D с поверхностью Γ разбиваеться на две подобласти D(1) и D(2).На поверхности зададим два условия на неизвестную функцию U(x) удовлетворяющую уравнению 1: (2)

Функции 𝞿 и 𝟁 считаються замкнутыми ,n-единичная длина поверхности.

Условие 2 наз.начальными условиями. Таким образом требуется найти функцию U∊ ,которая удовлетворяет ур-нию 1 в области D и начальным условиям 1 на поверхности .В частности, если поверхность Γ являеться плоскость ,то начальное условие принимает вид:

Функция удовлетворяющая уравнению 1 и начальным условиям 2 наз.классическим решением задачи Коши. Отметим что не для всех функций 𝞿 и 𝟁 такое решение существует: ,f(x,y)= то существует решение y= если f(x,y) аналитическая.

Если коэффициенты , ,с и функция f(x,y) являються формулами аналитическими в окружности точки , а начальные функции 𝞿 и 𝟁 также аналитические то существеут некоторая окрестность точки ,в которой решение задачи 1 и 2 существует, при этом оно единственно в классе аналитических функций.

5.Корректность постановки задачи. Пример Адамара.

Задача считается корректно поставленной, если:

1. решение этой задачи существует;

2. решение должно быть единственным;

3. решение должно быть устойчиво

Приведем пример задачи, не корректно поставленной.

- не корректно поставленная задача.

Приведем пример задачи, в которой нарушается устойчивость решений (пример Адамара).

Рассмотрим задачу :

и - некоторые известные функции.

Пусть - решение задачи. Рассмотрим еще одну задачу:

Пусть - решение этого уравнения. Составим разность тогда - решение задачи

при

Найдем решение задачи для функции в виде

, - задача Коши для лин. уравнения с пост.коэф.2 – го пор.

.

Таким образом,

Малые изменения начальных данных привели к большой разности решений.

6. Уравнения колебания струны

П од струной мы будем понимать упругую нить, не сопротивляется изгибу.

Будем считать колебания струны малыми. Малость колебаний означает, что квадратами величин отклонения точек струны от равновесия и квадратами производных по можно пренебречь. В положении равновесия струна совпадает с осью . При возмущении точек струны будут отклоняться от этой оси. Величину этого отклонения обозначим через .

В ыделим участок струны заключенный между и . В положении равновесия длинна этого участка . Выведем этот участок из положения равновесия и посчитаем длину АВ

В процессе колебаний длина невозмущенного участка струны не изменяется.

В силу закона (удлинение пропорционально приложенной силе) приходим к выводу, что в процессе колебаний сила натяжения струны не меняется.

Обозначим T(x) сила натяжения в точке струны с координатой . Выделим участок струны _- линейная плотность струны.

Если мы зафиксируем точку х, тогда дает закон движения точки х. -скорость движения, -ускорение, .

Обозначим через величину силы, приложенную в точки х в момент времени t. Считают что эти силы расположены в плоскости XU и параллельны оси U.

-силы натяжения точек струны, найдем теперь проекцию сил натяжения на ось U.

уравнения колебаний струны.

Если струна однородная, то

. Тогда