40.Функция Грина в задаче Неймана.

u(х) явл. гармонической в в обл. Ώ => допускается интегральное представление (*)

если ввести q(x,ξ) гармоническую в обл. Ώ и применить 2-ую формулу Грина, то приходим к рав-ву: =0. Сложим.

Т.к. q(x,ξ) гармоническая в Ώ, то

для выполнения этого условия потребуем, что бы , |S| - площадь пов-ти Г, = .

Действ-но, => u(x) 1 явл. гармонич. огр. обл. => в этой области допускается интегральное представление.

1=

В случае зад. Неймана заменяется усл-ем

Если имеем внутр. зад. Неймона, то решение зад. Неймана определено с точностью до постоянной произвольной.

(**)= С.

Если зад. Внешняя, то (**)=

Ф-ция наз. ф-цией Грина зад. Неймана, если выполн. След. усл-я:

1. явл. гармонической в обл. Ώ исключая точку ξ=х, где она обращается в ∞.

2. , |S|- площадь пов-ти Г для внутр. зад. и для внешн. зад.

3. в обл. Ώ ф-ция допускает представление = ,

где явл. гармонической как ф-ция переменной ξ в обл. Ώ.

41.Формула Пуассона решения внутр. Задачи Дирихле для шара

Если бы была известна функция Грина для этой задачи, то её решение определялось бы формулой

В трёхмерном случае

1)

2)

Подставим в формулу

эта формула носит название: формула Пуассона решения внутренней задачи Дирихле для шара.

Решение внешней задачи будет

42.Формула Пуассона решения задачи Дирихле для круга

Запишем формулу Пуассона в полярной системе координат

43.Неравенство Харнака. Теорема Лиувилля

Пусть функция -гармоническая внутри шара и неотрицательна

Получим оценку для

Умножим последнее неравенство на и проинтегрируем по поверхности . Получим

Последнее неравенство носит название неравенство Харнака

Из неравенства Харнака легко получить теорему Лиувилля.

Теорема: Если функция является гармонической во всем пространстве и ограничена или сверху,или снизу, то она постоянна.

Так как функция гармонична во всем пространстве

То она является гармонической и в шаре любого радиуса , причем

Обозначим через ( -ограничена сверху) , гармоническая

Следовательно для справедливо неравенство Харнака

при

44. Поведение производных гармонической функции на бесконечности.

Мы установили, что решение задачи Дирихле для шара .

Решение внешней задачи Дирихле определяется формулой .

Для того, чтобы функция была решением внешней задачи, она должна удовлетворять условиям:

1) ;

2 ) , ;

Проверяем

1) Покажем, что выполняется 1ое условие:

; -гармоническая, кроме , т.е. ; .

2) Покажем, что выполняется 2-ое условие, т.е. при . Для этого точку М (находится вне шара) возьмем настолько далеко от центра, чтобы . Тогда . Из неравенства треугольника следует, что ; . Далее .

.

Найдем и оценим .

.

45. Единственность решения задачи Неймана.

Для ответа на этот вопрос потребуется 1ая формула Грина:

,

где , причем . Если , то , и эта формула принимает вид:

- 1ая формула Грина для оператора Лапласа.

Нам понадобится понятие регулярной поверхности Ляпунова. Поверхность Г называется регулярной, если:

1) В каждой точке поверхности существует определенная нормаль;

2) Если в любой точке поверхности построить локальную систему координат, ось z которой направить по нормали, то уравнение части поверхности, находящейся в окрестности начала этой системы координат запишется в виде , причем дважды непрерывно дифференцируема.

Т еорема: Если Г есть регулярная поверхность, ограниченная областью (или конечная граница для неограниченной области), то решением внутренней задачи Неймана для уравнения Пуассона определенного с точностью до постоянной, а решение внешней задачи единственно.

Доказательство: Пусть задача является внутренней и имеет два различных решения и . Разность этих решений обозначим через . Тогда для получим задачу: . Заменим теперь 1ую формулу Грина для оператора Лапласса, полагая, что , получим: . Теперь внутри области , а . Остается , , .

Для неограниченной области 1ая формула Грина не применима. Т.к. граница Г конечная, то ее можно заключить внутрь сферы достаточно большого радиуса . Запишем 1ую формулу Грина для , в которой получим . . . Т.к. функция является гармонической в неограниченной области, то при . , , значит при . Получаем , а значит . Т.е. решение единственно.