2. Определители.

Начнём издалека, с самого начала, беглым обзором охватив весь путь, приводящий к построению теории определителей – важнейшего инструмента в исследовании линейных преобразований (и не только них).

1. Решая систему двух уравнений с двумя неизвестными (1), мы обнаружили, что имеет она единственное решение (пару элементов х₁, х₂ поля F или, говоря иначе, вектор (x₁,x₂)F²) в том и только в том случае, если величина a₁₁a₂₂-a₁₂a₂₁0. Эту величину мы назвали определителем матрицы А= , а саму систему переписали в векторном виде: или АХ=В, где Х и В – вектора (искомый и данный соответственно), а А – линейный оператор, соответствующий матрице А в стандартном базисе. Если мы исключим из системы (1) неизвестное х₂, умножив первое уравнение на a₂₂, второе на (-a₁₂) и сложив, то получим . Правая часть – это тоже определитель, определитель матрицы . Получаем в итоге: и, аналогично, . (2) Теперь рассмотрим систему двух однородных уравнений с тремя неизвестными: (3) Если мы найдём хотя бы одно ненулевое решение этой системы – вектор х=(х₁,х₂,х₃), то решением будет и любой коллинеарный ему вектор х=(х₁,х₂,х₃), то есть вся прямая, содержащая вектор х или порождённая вектором х (его линейная оболочка, в данном случае – одномерное подпространство F³). Если ненулевое решение существует, то хотя бы один из х_i0 i=1,2,3. Допустим, что это так и х₃0. Тогда разделив уравнения на х₃ и введя новые переменные y₁=-x₁/x₃; y₂=-x₂/x₃ получим систему , которую мы уже умеем решать. В качестве порождающего одномерное пространство всех решений системы (3) вектора можно взять вектор с координатами x₁= , x₂=- , x₃= (4).

Упражнение 10. Формулы (4) были выведены в предположении, что 0. Докажите, что они имеют место, если хотя бы один (любой) из этих трёх определителей 0. Приведите пример, когда в случае равенства нулю всех трёх определителей у системы (3) имеются ненулевые решения.

2. П ереходим к системам трёх уравнений с тремя неизвестными: (5) Решим её также как и систему двух уравнений с двумя неизвестными методом Гаусса исключения неизвестных. Подберём множители с₁, с₂ и с₃ так, чтобы умножив на них соответственно первое, второе и третье уравнения и затем сложив, мы бы избавились от неизвестных х₂ и х₃. Это приводит нас к системе двух однородных уравнений с тремя неизвестными - с₁, с₂ и с₃, аналогичную системе (3): . После решения в соответствии с (4) и подстановки в первое уравнение, получим: (6). Таким образом, | | третьего порядка определяется при помощи определителей второго порядка: (7). Графически выражение в правой части (7) получается разложением определителя в левой части по первому столбцу: Именно: берётся элемент из первого столбца с соответствующим знаком (весь определитель размечен в шахматном порядке знаками «+» и «-» начиная с левого верхнего угла, в который помещён знак «+») и умножается на определитель на единицу меньшего порядка (в данном случае – второго) который получается, если вычеркнуть тот столбец и ту строку, в которой стоит этот элемент. Def. Определитель матрицы, получающийся вычёркиванием из матрицы А=(a_i,j) i-ой строки и j-го столбца называется минором М_i,j матрицы А, соответствующим элементу a_i,j. А_i,j=(-1)^i+jM_i,j называется алгебраическим дополнением элемента a_i,j. Появляется возможность, продолжая действовать в том же духе, получать уравнения и определители всё больших порядков, опираясь на уже известные формулы и определители меньших порядков. Def. Итак, первое (индуктивное) определение определителя n-го порядка: detA= a_1,1M_1,1-a_2,1M_2,1+a_3,1M_3,1-…+(-1)ⁿ⁺¹a_n,1M_n,1=a_1,1A_1,1+a_2,1A_2,1+a_3,1A_3,1+…+a_n,1A_n,1. В этом разложении (по первому столбцу) все миноры, а, соответственно, и все алгебраические дополнения уже определены к этому моменту, так как они – определители (n-1)-го порядка. Упражнение 11*. Докажите, что тот же результат получится, если разлагать исходный определитель не по первому, а по любому столбцу, а также и по любой строке. Упражнение 12*. Докажите, что определённая таким образом функция на квадратных матрицах является линейной функцией как строк, так и столбцов матриц А=(a_i,j) n-го порядка. Упражнение 13. Докажите, что функция detA на матрицах n-го порядка является кососимметрической функцией как строк, так и столбцов этих матриц (то есть, меняет знак при перестановке любых двух строк или столбцов). Возвращаясь к уравнению (6), обратите внимание, что правая часть этого уравнения является также разложением по первому столбцу определителя, в котором первый столбец в определителе третьего порядка из (7) заменён столбцом из правых частей системы (5). Таким образом, получаем формулы для корней системы (5): и, аналогично, и (8). Формулы (2) и (8) называются формулами Крамера для определителей второго и третьего порядка соответственно. Мы ожидаем, естественно, что эти правила сохранятся и для определителей высших порядков. Этим, по крайней мере, теоретически, будет закрыт вопрос о корнях линейной системы из n уравнений с n неизвестными ранга n. Проведём надлежащую подготовку к доказательству этой гипотезы.

3. Забудем на время о том определении определителя (индуктивном), которое у нас уже было, и вспомним, наоборот, о том результате, к которому мы пришли в конце конспекта «Vector spaces-I»; упражнения 70-74. Итак, мы искали функцию , полилинейную на векторах-строках A₁, A₂, …,A_n матриц ; А={A₁,A₂,…,A_n}; A_i={a_i1,a_i2,…,a_in} и обладающей свойством обращаться в нуль в случае равенства двух каких-либо векторов-строк: f(*,X,*,X,*)=0, где звёздочками отмечены строки с номерами,  i или j в которых стоят строки с одинаковыми значениями, равными Х. Мы выяснили, что это свойство эквивалентно кососимметричности функции f (свойству менять знак при перестановке любых двух своих аргументов). Упражнение 14. Вспомнить и снова доказать это утверждение. Как мы проверяли, для матриц второго и третьего порядков эта функция, если ещё добавить к ней нормировочное требование принимать значение 1 на единичной матрице, совпадает с определением определителей для этих матриц, полученным в п. 2.1 и 2.2. Как нам ещё докажет это для произвольных матриц (n-го порядка) Андрей Кириллович, (последнее, завершающее конспект «Vector spaces-I» упражнение 74) эти два условия уже однозначно, с необходимостью приводят нас к выражению функции f через координаты матрицы А=(a_i,j) следующим образом: f(A)=f(E) . (DET1) Сумма берётся по всем возможным перестановкам. В итоге в каждом слагаемом-произведении n элементов матрицы представлены одним элементом каждая строка и каждый столбец. Произведение входит в алгебраическую сумму со знаком, равным знаку перестановки . Добавив сюда естественное нормировочное условие f(E)=1, получим новое определение определителя: Det A= (9). Теперь, исходя из определения (9), докажите следующие утверждения. Упражнение 15. Det A – полилинейная функция на векторах – строках матрицы А (равно как и на векторах – столбцах этой матрицы). Упражнение 16. Det A – кососимметрическая функция на векторах – строках матрицы А (равно как и на векторах – столбцах этой матрицы). Если вспомнить о комплексных числах, как они у нас впервые появились, - в виде матриц второго порядка специального вида, то модуль комплексного числа совпадает как раз с определителем его матрицы. Матрица же сопряжённого комплексного числа, по модулю равного 1, отличается от матрицы самого числа тем, что её коэффициенты получены симметрией (отражением) относительно главной диагонали коэффициентов исходной матрицы. В общем случае, когда имеется квадратная матрица А=(a_i,j) n-го порядка, сопряжённой к ней матрицей В=(b_i,j) называется матрица, у которой , где чёрточка сверху означает комплексное сопряжение. Если же коэффициенты А вещественные, то и сопряжённая матрица превращается в транспонированную матрицу ^tA, столбцы которой являются строками матрицы А. Учтя, что знак перестановки и обратной к ней всегда совпадают, Упражнение 17. А почему? докажите, что Упражнение 18. Det A=Det ^tA. Упражнение 19. Докажите, что Det Е=1. Таким образом, исходя из условий линейности, кососимметричности и нормировочного условия det E=1 мы пришли к определению (9). Обратно, стартуя от определения (9), мы получили все эти условия. Упражнение 20. Определитель не меняется, если к элементам i-ой строки матрицы А прибавить элементы j-ой строки, умноженные на l. Упражнение 21. Определитель не меняется, если к любой строке матрицы прибавить линейную комбинацию других строк. Упражнение 22. Если в матрице А имеется нулевая строка или столбец, то её определитель равен нулю. Упражнение 23. Если ранг матрицы меньше n (т.е., между строками имеется линейная зависимость), то её определитель равен нулю. Упражнение 24. Определитель матрицы А и матрицы ВА, где В - унимодулярная матрица, совпадают. Упражнение 25. а) Если в матрице А имеются две одинаковых строки, то её определитель равен нулю. б) Det A=ⁿDet A. Def. Верхнетреугольной называется матрица, у которой все компоненты, лежащие ниже главной диагонали – нулевые: .

Упражнение 26. Докажите, что определитель такой матрицы равен произведению её компонент, стоящих на главной диагонали: Det A=a₁₁a₂₂…a_nn. Упражнение 27. Запишите в виде определителя третьего порядка кососимметрическую функцию f:R³R, f(x,y,z)=(y-x)(z-x)(z-y). Упражнение 28. Вычислить определитель матрицы А= . Упражнение 29*. (Формулы разложения определителя по элементам столбцов и строк) Докажите справедливость следующих формул (ср. с упр. 11 – только там за определение det A бралось его разложение по первому столбцу, а сейчас определением служит формула 9): где А_i,j=(-1)^i+jM_i,j - алгебраическое дополнение элемента a_i,j. Упражнение 30*. (Определитель Вандермонда). Вычислите определитель . (hint: use properties of a det as a function of columns, notice that it is a homogeneous polynomial of variables x₁,…,x_n of a certain degree and recall the Bezout theorem)

4. До сих пор мы, давая определения определителю разными способами, доказывали их эквивалентность. Сейчас мы дадим ещё одно определение, в котором за основу берутся следующие свойства, доказанные нами ранее в п. 2.3. Def. Итак, определителем матрицы А с коэффициентами в поле F назовём функцию Det:AF, обладающую следующими свойствами (при этом мы вовсе не можем быть уверены, что функция с такими свойствами вообще существует): а) при умножении любой строки матрицы на элемент  поля F определитель её Det тоже умножается на , b) при прибавлении к одной строке матрицы другой её строки значение определителя Det не изменяется, и с) определитель единичной матрицы равен 1: DetE=1. Базируясь теперь на этом, новом определении, докажем заново уже известные ранее нам свойства функции Det (предполагая, что таковая существует): Упражнение 31. Если в матрице имеется нулевая строка, то DetA=0. Упражнение 32. Если к строке А_i матрицы прибавить кратное А_j другой строки, то её определитель DetA не изменится. В развитие этого результата, докажите, что если прибавить к одной строке не только кратное другой строки, но и любую линейную комбинацию других строк, то определитель DetA от этого всё равно не изменится. Упражнение 33. Если у матрицы имеются две одинаковые строки, то её определитель равен нулю. Упражнение 34. Если матрица вырождена, то её определитель равен нулю. Упражнение 35. Если любые две строки матрицы А_i и А_j поменять местами, то значение определителя поменяет знак (он умножится на -1). Упражнение 36. Определитель матрицы не меняется при умножении её слева на унимодулярную матрицу В. Упражнение 37. Определитель же матрицы D() равен  (определение матрицы D() см. в п. 1.2). Упражнение 38. Для любых матриц А и В имеет место Det(AB)=DetADetB. Это означает, что Det является гомоморфизмом мультипликативной группы обратимых матриц в мультипликативную группу F* поля F. Итак, Det является полилинейной и кососимметрической функцией строк , нормированной условием DetE=1. То есть, приходим снова к определению, привёдшему к формуле (9). Упражнение 39. Если определитель матрицы равен нулю, то матрица – вырожденная (утверждение, обратное утверждению 34). Если же матрица А невырожденная, то Det (A^-1)=(DetA)^-1. Итак, критерием вырожденности матрицы является равенство нулю её определителя. Матрица А вырождена  DetA=0. Упражнение 40. Функция Det является сюръективным гомоморфизмом GL(n,F)F*; kerDet=SL(n,F). Упражнение 41. Пусть матрица А имеет вид , где В и D –квадратные матрицы. Тогда DetA=DetBDetD. Упражнение 42. Определитель является инвариантом линейного оператора L: EE (dimE=n), он не зависит от выбора базиса, в котором записана матрица А этого оператора (хотя сама-то матрица, как мы знаем, от выбора базиса очень даже зависит!). Упражнение 43*. Обозначим алгебру (квадратных) матриц порядка n над полем F как M(n,F). Пусть А_i,j по-прежнему, обозначает алгебраическое дополнение к элементу a_i,j матрицы АM(n,F). Тогда имеют место тождества: a_i1A_j1+a_i2A_j2+…+a_inA_jn=_ijDetA; a_1iA_1j+a_2iA_2j+…+a_niA_nj=_ijDetA. (hint: when i=j _ij=1and we have ex.11. When i≠j _ij=0 and we have the decomposition along its j^th row of a matrix, got from original matrix A by replacing its j^th row with its i^th row) Def. Матрицу полученную из матрицы А заменой её элементов a_i,j на алгебраические дополнения А_j,i к транспонированным элементам a_j,i назовём присоединённой или взаимной матрицей к матрице А. То есть мы сначала транспонируем матрицу А, а затем заменяем её элементы на алгебраические дополнения к ним. Или, наоборот (всё равно), сначала заменяем, а потом транспонируем. Упражнение 44*. А^-1=(DetA)^-1 Теперь мы можем обобщить формулы (8) на линейные системы любого порядка. Упражнение 45*. (Крамер) Если Det (a_i,j)≠0, то единственное решение линейной системы (11) задаётся формулами , где определитель в числителе получается заменой k-го столбца матрицы А=(a_i,j) столбцом правых частей уравнения (11).

5. Как мы с вами проверяли, при n=2, определитель совпадает с точностью до знака с площадью параллелограмма, построенного на векторах е=(a,b) и f=(c,d): Чтобы снять оговорку «с точностью до знака», введём понятие ориентированных длины, площади, объёма и т.д. Например длиной отрезка АВ, если на прямой, где расположены точки А и В, положительное направление совпадает с лучом АВ, будет обычная длина АВотрезка АВ; если на координатной прямой точки А и В имели координаты соответственно х и у, то АВ=у-х. Тогда ориентированной длиной отрезка ВА будет величина -АВ, т.е., х-у. Аналогично, ориентированные площади треугольников АВС и СВА будут отличаться знаками – они обходятся в противоположных направлениях (по и против часовой стрелки).

Основными свойствами ориентированного объёма (в двумерном случае – площади и в одномерном случае – длины) являются следующие: а) если один из векторов е_i, на которые натянут n-мерный параллелепипед, изменить в  раз (вытянуть, сжать, возможно, при этом ещё и обратить – если <0), оставив все остальные векторы-рёбра без изменения, то объём измениться в  раз: V₂=V₁; б) если к одному векторов е_i, на которые натянут n-мерный параллелепипед, прибавить коллинеарный ему вектор f_i (ибо все остальные векторы-рёбра должны сохраниться без изменения), то объём нового параллелепипеда равняется сумме объёмов старого параллелепипеда и параллелепипеда, построенного на рёбрах (e₁,e₂,…,f_i,…,e_n); в) при любой транспозиции векторов-рёбер параллелепипеда его ориентированный объём меняет знак на противоположный. Отсюда следует, что signV =(), где . Как мы видим, ориентированный объём параллелепипеда является линейной и кососимметрической функцией от векторов, на которых, как на рёбрах, он построен. При этом достаточно лишь добавить естественное требование, чтобы объём единичного параллелепипеда (т.е. построенного на единичных векторах – векторах стандартного базиса) был равен 1 и мы вновь приходим вновь к одному из исходных определений определителя. Между прочим, условие «ориентированный объём не меняется при добавлении к вектору кратного любого другого вектора» тоже легко иллюстрируется – в двумерном случае это равносоставленность параллелограммов с общими основаниями и высотами, в трёхмерном – соответственно, таких же параллелепипедов. Итак, мы приходим к выводу, что ориентированный объём параллелепипеда, построенного на векторах, как на рёбрах, совпадает с определителем матрицы, строками которой являются координаты этих векторов. Площадью любой фигуры является число клеточек-квадратиков (соответственно, кубиков и т .д.), расположенных внутри этой фигуры (при увеличении частоты сетки – уменьшении размеров клеточек их сумма «стремится» к истинному значению «площади фигуры» - ничего более точного и определённого в этом отношении мы пока сказать не можем). Число узлов клетки внутри фигуры не меняется при любом линейном невырожденном преобразовании, площадь же каждой клеточки при этом изменяется пропорционально с одним и тем же коэффициентом, равным определителю этого преобразования. Таким образом, определитель линейного преобразования ВП V отвечает не только за то, во сколько раз изменится объём параллелепипедов в V, а во сколько раз вообще изменится объём любой фигуры в V. Познакомимся ещё с одним инвариантом линейного преобразования f: VV. Def. Следом (trace) матрицы А называется сумма её диагональных элементов: . Пусть прямоугольные матрицы А и В таковы, что определено как АВ, так и ВА (для этого необходимо и достаточно, чтобы одна из них имела размеры mn, а другая - nm). Тогда обе матрицы АВ и ВА – квадратные (одна – порядка m, а другая - порядка n) и потому для обеих определена функция tr. Упражнение 46. Докажите, что tr AB=tr BA. Выведите отсюда, что след является характеристикой (инвариантом) линейного оператора и не зависит от базиса, в котором записан этот оператор: Упражнение 47. Пусть f: VV линеен и в базисе е записан матрицей А, а в базисе f – матрицей B. Тогда tr A=tr B. Таким образом, можно говорить о следе tr f оператора f.