26. Понятие и вероятностный смысл мож дискретной случайной величины

Закон распределения пол­ностью характеризует случайную величину. Однако часто он неизвестен и приходится ограничи­ваться меньшими сведениями. Иногда даже выгоднее пользоваться числами, которые описывают случайную величину; такие числа называют числовыми характеристиками случайной величины. К числу таковых относится МОЖ. Мат.ожидание приближенно равно среднему значению случайной вели­чины. МОЖ дискретной слу­чайной величины - это сумма произведений всех ее возм.значений на их вероятности М(х)=x₁p₁+x₂p₂+…x_np_n

Если дискретная случайная величина Х принимает счетное множество возможных значений, то M(X)= причем мат.ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится.

Замечание. Из определения следует, что мат.ожидание дискретной случайной величины есть неслучайная (постоянная) величина.

Пример. Найти математическое ожидание случайной вели­чины X зная закон ее распределения:

Решение. Искомое мат.ожидание: М (Х)==3.0,1 +5.0,6+2.0,3==3,9.

26. Вероятностный смысл мож и мож в 1м испытании

МОЖ числа появлений собы­тия в одном испытании равно вероятности этого собы­тия. Доказательство: Случайная величина Х—число появлений А в 1м испытании – может принимать только 2 значения: х₁=1 (А наступило) с вероятность р и х₂=0 (А не наступило) с вероятностью q. Тогда мат.ожидание М(Х)=1*р+0*q=p. ЧТД.

Пусть произведено «n» испытаний, в которых случайная величина Х приняла m₁ раз значение х₁, m₂ раз значение х₂,… m_k раз значение x_k, причем m₁+m₂+…+m_k=n. Тогда сумма всех значений, принятых Х равна x₁m₁+x₂m₂+…+x_km_k. Найдем среднее арифметическое Ӿ всех значений, принятых случайной величиной, для чего разделим найден­ную сумму на число испытаний: Ӿ = (x₁m₁+x₂m₂+…+x_km_k)/n или Ӿ= x₁(m₁/n)+x₂(m₂/n)+…+x_k(m_k/n). Заметив, что отношение m₁/n- относительная частота W₁ значения х₁ , m₂/n - относительная частота W₂ значения х₂ и т.д., запишем это соотношение так: Ӿ=x₁W₁+x₂W₂+…+x_kW_k. Допустим, что число испытаний достаточно велико. Тогда относительная частота приближенно равна вероят­ности появления события W₁ p₁, W₂ p₂,… W_k p_k. Заменив в соотношении относительные частоты соответствующими вероятностями, получим Ӿ=x₁p₁+x₂p₂+…+x_kp_k. Правая часть этого приближенного равенства есть М(Х). Итак, Ӿ M(X). Вероятностный смысл полученного результата: МОЖ приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифмети­ческому наблюдаемых значений случайной величины.

Замечание 1. МОЖ больше наименьшего и меньше наибольшего возможных значе­ний. Другими словами, на числовой оси возможные значения расположены слева и справа от МОЖ. В этом смысле МОЖ характеризует расположение рас­пределения и поэтому его часто называют центром распреде­ления.

Замечание 2. Происхождение термина «МОЖ» связано с начальным периодом возникновения ТВ (16-17 вв.), когда область ее применения ограничива­лась азартными играми. Игрока интересовало среднее значение ожи­даемого выигрыша, или, иными словами, МОЖ выигрыша.