18. Определение производной и дифференцируемости функции. Определение производной

   Пусть на некотором промежутке Х определена функция y = f (x). Возьмём любую точку х₀   Х и зададим аргументу х в точке х₀ произвольное приращение Δ xтакое, что точка х₀ + Δ x также принадлежит Х. Функция получит приращение Δy = f (x₀ + Δ x) − f (x₀).    Производной функции у = f (x) в точке х₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при Δ x → 0 (при условии, что этот предел существует) .

   Правой производной функции у = f (x) в точке х ₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при Δ x → + 0 (при условии, что этот предел существует) .

   Левой производной функции у = f (x) в точке х₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при Δ x → − 0 (при условии, что этот предел существует) .

   Если левая производная функции у = f (x) в точке х₀ совпадает с правой производной функции у = f (x) в этой точке, то эти односторонние производные совпадают с самой производной функции в данной точке. Если для некоторого значения х₀ выполняется условие  (или  ),

то говорят, что в точке х₀ функция имеет бесконечную производную знака плюс (или знака минус).

Непрерывность дифференцируемой функции

   Если функция y = f (x) имеет производную в точке х = х₀, то говорят, что при данном значении аргумента х = х₀ функция дифференцируема.    Если функция дифференцируема в каждой точке интервала (a, b), то говорят, что она дифференцируема на этом интервале.    Если функция дифференцируема в некоторой точке х = х₀, то она в этой точке непрерывна.    Доказательство. Пусть в точке х = х₀ существует производная .

Так как разность между функцией и её пределом есть бесконечно малая величина, то из определения производной следует соотношени ,

где γ (Δx) — является бесконечно малой величиной своего аргумента. Тогда Δy = f '(x₀)·Δx + γ (Δx)·Δx и откуда следует, что Δy → 0 при Δx → 0, а это означает непрерывность функции у = f (x) в точке х₀.    Таким образом, в точках разрыва функция не может иметь производной. Однако и непрерывность функции не гарантирует существование производной в некоторой точке. Примером может служить функция  , график которой представлен на рисунке ниже

Для этой функции левая и правая производные не совпадают, хотя функция обладает свойством непрерывности.    Если функция y = f (x) имеет конечную производную в каждой точке х   Х, то производную f '(x) можно рассматривать как функцию от х, также определенную на Х.