11. Расстояние от точки до плоскости

• Пусть плоскость П задана уравнением A_X+B_Y+C_Z+D=0  и дана точка M₀(X₀;Y₀;Z₀) . Тогда расстояние p  от точки M₀  до плоскости П определяется по формуле

Доказательство.     Расстояние от точки M₀ до плоскости   -- это, по определению, длина перпендикуляра   , опущенного из точки  на плоскость   . Рис.11.9.Расстояние от точки до плоскости

В ектор KM₀ и нормальный вектор n плоскости   параллельны, то есть угол   между ними равен 0 или   , если вектор n имеет направление противоположное, указанному на рис. 11.9. Поэтому

Откуда

Координаты точки   , которые нам неизвестны, обозначим X₁,Y₁,Z₁  . Тогда   . Так как   , то   . Раскрыв скобки и перегруппировав слагаемые, получим

(11.9)

Точка   лежит на плоскости   , поэтому ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости:   . Отсюда находим, что   . Подставив полученный результат в формулу (11.9), получим   . Так как   , то из формулы (11.8) следует формула (11.7).   

12. Е- окрестности точки и символов +и- бесконечности. Понятие предела функции в точке и на бесконечности. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

ε-окре́стность множества в функциональном анализе и смежных дисциплинах — это такое множество, каждая точка которого удалена от данного множества менее, чем на ε.

Определения

• Пусть   есть метрическое пространство,   и ε > 0. ε-окрестностью x₀ называется множество

• Пусть дано подмножество   Тогда ε-окрестностью этого множества называется множество

Замечания

• ε-окрестностью точки x₀ таким образом называется открытый шар с центром в x₀ и радиусом ε.

• Прямо из определения следует, что

• ε-окрестность является окрестностью и, в частности, открытым множеством.

[Примеры

Пусть есть вещественная прямая   со стандартной метрикой   Тогда

• U₂(1) = ( − 1,3);

• U₁([5,7]) = (4,8).

Пределы функций.

Определим понятие окрестности точки х₀ как множество значений х, являющихся решениями неравенства 0<|x - x₀| < δ, где δ > 0 — некоторое число. Само значение х₀ может включаться в окрестность или не включаться в нее (в этом случае окрестность называется проколотой).

Пусть функция у = f(x) определена в некоторой окрестности точки х₀.

Определение 13.7. Число А называется пределом функции у = f(x) при х, стремящемся к х₀, если  такое, что |f(x) - A| < ε при |x - x₀| < δ.

ОКРЕСТНОСТЬЮ ТОЧКИ Хо называется любой интервал, содержащий эту точку.  ПРОКОЛОТОЙ ОКРЕСТНОСТЬЮ т. Хо называется окрестность т. Хо, из которой выброшена сама точка.  ОКРЕСТНОСТЬЮ "+" БЕСКОНЕЧНОСТИ называется любой полубесконечный промежуток вида (а;+) .  ОКРЕСТНОСТЬЮ "-" БЕСКОНЕЧНОСТИ называется любой полубесконечный промежуток вида (- ;b) .  ОКРЕСТНОСТЬЮ БЕСКОНЕЧНОСТИ называется объединение двух любых окрестностей + и - . Функция f(х) называется бесконечно малой в окрестности т. Хо, если для любого числа >0 существует проколотая окр. т. Хо такая, что для любого числа Х, принадлежащего прокол. окр. т. Хо выполняется неравенство іf(х) і<. >0 U U => іf(x) і< Число А называется пределом ф-ции f(х) в т. Хо, если в некоторой прок. окр. этой точки ф-цию f(х) можно представить в виде f(х) =А+ (х) , где (х) -бесконечно малое в окрестности т. Хо. limf(x) =А Ф-ция f(х) называется непрерывной в т. Хо, если в некоторой окр. т. Хо эту ф-цию можно представить в виде: f(х) =f(х) + (х) , где (х) -б. м. в окр. т. Хо.  Иными словами, f(х) -непрерывна в т. Хо, если она в этой точке имеет предел и он равен значению ф-ции.  ТЕОРЕМА: Все элементарные ф-ции непрерывны в каждой точке области определения.  Схема: 1. ф-я элементарна 2. определена 3. непрерывна 4. предел равен значению ф-ции 5. значение ф-ции равно 0 6. можно представить в виде б. м.  СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ: Теорема#1: Единственная константа, явл-ся б. м. Теорема#2: Если (х) и (х) -б. м. в окр. т. Хо, то их сумма тоже б. м. в этой окр.  Ф-ция f(х) называется ограниченной в окр. т. Хо, если сущ.  проколотая окр. т. Хо и сущ. число М>0, такие что іf(х) і<М в каждой точке прок. окр. т. Хо.  U M>0: іf(x) і Теорема#3: Если (х) -б. м. в окр. т. Хо, то она ограничена в этой окр.  Теорема#4: О произведении б. м. на ограниченную: Если ф-ция (х) -б. м., а f(х) -ограниченная в окр. т.  Хо, то (х) *f(х) -б. м. в окр. т. Хо.  Теорема#5: О промежуточной б. м.: Если (х) и (х) -б. м. в окр. т. Хо и (х) < (х) < (х) - 2 в окр. т. Хо U, то  (х) -б. м. в окр. т. Хо. Две б. м. называются сравнимыми, если существует предел их отношения.  Б. м. (х) и (х) в окр. т. Хо называются одного порядка, если предел их отношений есть число не равное  0.  Две б. м. в окр. т. Хо называются эквивалентными, если предел их отношения равен 1.  Теорема#1: Если и -эквивалентные б. м., то их разность есть б. м. более высокого порядка, чем и чем.  Теорема#2: Если разность двух б. м. есть б. м. более высокого порядка, чем и чем, то и есть  эквивалентные б. м.

Пределы на бесконечности

Предел функции на бесконечности описывает поведение значения данной функции, когда её аргумент становится бесконечно большим (по абсолютной величине).

Определения, аналогичное "ε−δ"

• Пусть задана числовая функция с неограниченной сверху областью определения, то есть f:M⊂R→R, и supM=∞. Число A∈R называется пределом функции f при x→+∞(предел в плюс-бесконечности), если

∀ε>0∃T∈R∀x∈M∩(T,∞)|f(x)−A|<ε.

Пишут:

limx→∞f(x)=A.

• Аналогично пусть f:M⊂R→R, и infM=∞. Число A∈R называется пределом функции f при x→−∞ (предел в минус-бесконечности), если

∀ε>0∃T∈R∀x∈M∩(−∞,T)|f(x)−A|<ε.

Пишут:

• limx→−∞f(x)=A.

13. Полуокресности, односторонние пределы. Графическая иллюстрация.

Односторо́нний преде́л в математическом анализе — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственнолевосторо́нним преде́лом (или преде́лом сле́ва) и правосторо́нним преде́лом (или преде́лом спра́ва).

Определения 

Пусть задана числовая функция   и   — предельная точка области определения M.

• Число   называется правосторонним пределом функции f при x стремящемся к a, если

• Число   называется левосторонним пределом функции f при x стремящемся к a, если

Обозначения 

• Правосторонний предел принято обозначать любым из нижеследующих способов:

• Аналогичным образом для левосторонних пределов приняты обозначения:

Односторонний предел как предел вдоль фильтра 

Односторонний предел является частным случаем общего понятия предела функции вдоль фильтра. Пусть   и   Тогда системы множеств

и

являются фильтрами. Пределы вдоль этих фильтров совпадают с соответствующими односторонними пределами:

Свойства 

• Основные свойства односторонних пределов идентичны свойствам обычных пределов и являются частными случаями свойств пределов вдоль фильтра.

• Для существования (двустороннего) предела функции необходимо и достаточно, чтобы оба односторонних предела существовали и равнялись между собой.

Примеры  Пусть   и

Тогда (см. рис.)   Поскольку односторонние пределы функции f(x) в точке 3 различны, то предела данной функции в 0не существует.

1. Пусть   и   Тогда

Опять, поскольку односторонние пределы функции f(x) в точке 0 различны, то предела данной функции в 0 не существует.