Связность графа. Отыскание компонент связности при графическом задании графа.

Г раф (ор-граф) называется связным (сильно связным), если любая пара его вершин соединяется хотя бы одной цепью.

- сильно связан - слабо связан

Возьмем ор-граф и уберем стрелки, тогда получим неор. граф, о котором говорят, что он ассоциирован с данным. Ор-граф называется слабосвязным, если ассоциированный с ним граф является связным. Максимально связанный (сильно связанный) подграф данного графа называется компонентой связности (сильной связности). Очевидно, если граф G имеет Р компонент связности G1,G2,G3,…,Gp, то число вершин графа G равно числу компонент связности. Если граф неор., то число его ребер равно сумме ребер его компонент связности.

Рассмотрим алгорит выделения компонент связности для неор. графа и этот же алгоритм даст возможность определить, будет ли граф связным. Этот алгоритм может работать и для выделения компонент слабой связности графа.

1) возьмем какую-нибудь вершину, 2) запишем все вершины, ей смежные, получим список, 3) к каждой вершине списка пункта 2 присоединяем смежные вершины, причем если вершина уже есть в списке, то ее уже не пишем, список при этом дополняется, 4) к полученным вершинам снова добавляем смежные к ним, не вошедшие в список, и так до тех пор, пока список не будет расширяться. При этом если в список вошли все вершины графа, то граф связный, в противном случае м ы выделим одну компоненту связности. Тогда берем любую вершину, не вошедшую в первую компоненту связности и повторяем алгоритм.

связности, получается вычеркиванием соответствующих строк и столбцов матрицы А: V1={1,4} 1 (0 1) 4 (1 0), 2) берем вторую строку и вычеркиваем все столбцы и соответствующие им строки, на пересечении которых находятся 1. Вторая компонента связности: V2={2} 2 (0) 3) берем третью строку и повторяем рассуждения. V3={3,5,6} …

Всего получается три компоненты сильной связности.

Диаметр, радиус, центр графа. Алгоритм их отыскания.

Пусть G не ор-граф. G(V,E). Расстоянием d(u,v) между вершинами u и v называется кратчайшая цепь, соединяющая эти вершины. Очевидно, что эта цепь является простой. (u,v)- геодезическая. Если граф связный, то d(u,v)<, если не связный, то полагают d(u,v)=. Пусть G связный граф, тогда диаметром графа G называется максимальное расстояние d(G)=max d(u,v) | (u,v)V. Зафиксируем вершину u. эксцентриситетом или максимальным удалением l(u) называется максимум d(u,v): l(u)=max d(u,v) | vV. Диаметр- это максимальный эксцентриситет. Назовем радиусом графа r(G) минимальный эксцентриситет: r(G)=min l(u) | uV. Вершины графа, эксцентриситет которых равен радиусу, называются центральными.

А лгоритм отыскания d,r,l: 7 расст-ие 1 2 3 4 5 6 7

1 2

=1 2 1 2 5 3 5 1 4 7 4 3 4 2 4 3 7 3 5 1 6….. 6 =2 3 4 1 6 2 3 4 5 5 5 7 2 1 4 3 6 7 =3 6 6 7 2 5 d(G)=4; r(G)=2 . 1… 3,4- центральные =4 7 6 вершины. l(i) 3 3 2 2 3 4 4