Реализация

Поиск в ширину реализуется с помощью структуры очередь. Для этого занесем в очередь исходную вершину. Затем будем работать, пока очередь не опустеет, таким образом: выберем элемент из очереди и добавим все смежные ему элементы, которые еще не использованы.

--------21. Матрица связности, тоже самое что и матрица смежности.

Матрица достижимости простого ориентированого графа   — бинарная матрица замыкания по транзитивности отношения   (оно задаётся матрицей смежности графа). Таким образом, в матрице достижимости хранится информация о существовании путей между вершинами орграфа.

Способы построения матрицы достижимости [править]Перемножение матриц

Пусть дан простой граф  , матрица смежности которого есть  , где  . Матрица смежности даёт информацию о всех путяхдлины 1 (то есть, рёбрах) в ографе. Для поиска путей длины 2 можно найти композицию отношения   с самим собой:

.

По определению, матрица композиции отношений   есть  , где   —конъюнкция, а   — дизъюнкция.

После нахождения матриц   композиций   для всех  ,   будет получена информация о всех путях длины от   до  . Таким образом, матрица   есть искомая матрица достижимости.

[Править]Случай нескольких путей

Если булевы операции   дизъюнкции и конъюнкции заменить обычными алгебраическими операциями   сложения и умножения соответственно, нахождение матрицы достижимости   сведётся к обычному пошаговому перемножению матриц с последующим сложением результатов каждого шага. Тогда получившаяся матрица   будет состоять не только из 0 и 1 и будет характеризовать не только наличие путей между вершинами, но уже и количество таких путей. В таком случае можно разрешить наличие кратных рёбер в графе.

Граф 

Матрица контрдостижимости Q = [ q_ij], i, j =1, 2, ... n, где n – число вершин графа, определяется следующим образом:

q_ij=1, если из вершины x_j можно достичь вершину x_i ,

q_ij=0, в противном случае.

Контрдостижимым множеством Q (x_i) является множество таких вершин, что из любой вершины этого множества можно достичь вершину x_i . Аналогично построению достижимого мно-жества R (x_i) можно записать выражение для Q (x_i):

.

Таким образом, видно, что Q (x_i) – это есть не что иное как обратное транзитивное замыкание вершины x_i , т. е. Q (x_i) = Т^-x_i). Из определений очевидно, что столбец x_i матрицы Q (в котором q_ij=1, если  , и q_ij=0 в противном случае) совпадает со строкой x_i матрицы R, т. е. Q = R^T,где R^T – матрица, транспонированная к матрице достижимости R.

Рис. 4.1.  Достижимость в графе: а –граф; б – матрица смежности; в – матрица достижимости; г- матрица контрдостижимости.

-------22. Граф и его каркасы

Каркас неориентированного графа

Оптимальным каркасом взвешенного графа называется каркас, минимизирующий некоторую функцию от весов входящих в него ребер. Чаще всего в качестве такой функции выступает сумма весов ребер, реже — произведение. Оптимальный каркас еще называют кратчайшей связывающей сетью для данного графа.

Задача о построении кратчайшей связывающей сети встречается в различных приложениях достаточно часто.

ПОСТРОЕНИЕ ПОИСКОМ В ГЛУБИНУ И ШИРИНУ СМ ВОПРОС 19, 20

-------23. Минимальный каркас (или Каркас минимального веса, Минимальное остовное дерево) графа — ациклическое (не имеющее циклов) множество рёбер в связном, взвешенном и неориентированном графе, соединяющих между собой все вершины данного графа, при этом сумма весов всех рёбер в нём минимальна.

Алгоритм Крускала (или алгоритм Краскала)