Изоморфизм графов общего вида

Графы   и   являются изоморфными, если путем перестановки строк и столбцов матрицы смежности графа   удается получить матрицу смежности графа  . Однако перебор всех возможных перестановок характеризуется вычислительной сложностью   (при условии, что сравнение матриц смежности производится за время, не зависящее от  , что обычно несправедливо и дополнительно увеличивает приведенную оценку), что существенно ограничивает применение подобного подхода на практике. Существуют методы ограниченного перебора возможных пар предположительно-изоморфных вершин (аналог метода ветвей и границ), однако они незначительно улучшают приведенную выше асимптотику^.

Инварианты

Основная статья: Инвариант графа

Существует набор числовых характеристик графов, называемых инвариантами, которые совпадают у изоморфных графов (совпадение инвариантов является необходимым, но не достаточным условием наличия изоморфизма)^[5]. К ним относятся число вершин   и число дуг/ребер   графа G, упорядоченный по возрастанию или убыванию вектор степеней вершин  , упорядоченный по возрастанию или убыванию вектор собственных чисел матрицы смежности графа (спектр графа), хроматическое число   и др. Факт совпадения инвариантов обычно не несет информации о подстановке изоморфизма.

Инвариант называется полным, если совпадения инвариантов графов необходимо и достаточно для установления изоморфизма. Например, каждое из значений   и   (мини- и макси-код матрицы смежности) является полным инвариантом для графа с фиксированным числом вершин  .

Различные инварианты имеют различную трудоемкость вычисления. В настоящее время полный инвариант графа, вычислимый за полиномиальное время, неизвестен, однако не доказано, что он не существует. Попытки его отыскания неоднократно предпринимались в 60-х — 80-х годах XX века, однако не увенчались успехом.

Модульное произведение Визинга

Модульное произведение графов  , предложенное В. Г. Визингом (англ.), позволяет свести задачу проверки изоморфизма к задаче определения плотности графа  , содержащего   вершин. Если  ,  , то граф   содержит подграф, изоморфный графу  .

Планарный граф — граф, который может быть изображен на плоскости без пересечения ребер.

Более строго: Граф укладывается на некоторой поверхности, если его можно на ней нарисовать без пересечения ребер. Уложенный граф называется геометрическим, его вершины — это точки плоскости, а ребра — линии на ней. Области, на которые граф разбивает поверхность, называются гранями. Плоский граф — граф, уложенный на плоскость. Граф называется планарным, если он изоморфен некоторому плоскому графу.

Полный граф с пятью вершинами

Лемма. Полный граф с пятью вершинами (К₅) нельзя уложить на плоскость

K₅, полный граф с 5 вершинами

«Домики и колодцы»

Граф «домики и колодцы» (K_3,3)

Задача о трёх колодцах. Есть три дома и три колодца. Можно ли так проложить дорожки между домами и колодцами, чтобы от каждого дома к каждому колодцу вела дорожка, и никакие две дорожки не пересекались бы. Мосты строить нельзя.

Лемма. Полный двудольный граф с тремя вершинами в каждой из долей (К_3,3) нельзя уложить на плоскость.