6. Сферическое движение твердого тела. Теорема Эйлера-Даламбера. Мгновенная ось вращения тела. Векторы угловой скорости и углового ускорения тела.

Рассматриваем движение по отношению к системе Ox₁y₁z₁ твердого тела, закрепленного так, что одна точка О неподвижна, а все остальные точки двигаются как хотят

1. уравнение движения (какие параметры определяют положение неподвижного тела). Линия, вдоль которой пересекаются плоскости Оxy и Ox₁y₁ называется линией узлов. Положение по отношению к осям Ox₁y₁z₁ трехгранника Oxyz_, а с ним и самого тела можно определить углами:

 – угол прецессии, определяющий вращение тела вокруг неподвижной оси;

              – угол собственного вращения, определяющий вращение тела вокруг оси собственного вращения;

              – угол нутации, определяющий вращение тела вокруг линии узлов.

Уравнения движения твердого тела вокруг неподвижной точки. Углы Эйлера

2. Угловая скорость тела.

W=w₁+w₂+w₃-абсолютное движение. W - Мгновенная угловая скорость тела. W₁- угловая скорость собственного вращения вокруг оси Оz₁, производная фир; w₂ – угловая скорость рецессии, вокруг оси Оz, производная угла процессии; w₃ – угловая скорость нутации, линия узлов, производная тетта. Поскольку значения w₁+w₂+w₃ со временем изменяются, вектор w будет при движении тела тоже изменяться и численно, и по направлению. При сферическом движении, твердое тело из любого начального движения в любое другое может привести к поворотам вокруг некоторой оси. Поверхность сферически твердого тела в каждый момент времени можно представить как вращение вокруг мгновенной оси с угловой скоростью W=w₁+w₂+w₃.

3. Геометрическая картина движения тела

Мгновенная ось вращения- ось, элементарным поворотом вокруг которой тело перемещается из данного положения в положение бесконечно близкое к данному. От неподвижной оси МОВ отличается тем, что ее направления и в пространстве, и в самом теле непрерывно меняются.

4. Угловое ускорение твердого тела при сферическом двжении.

w=w*w₀

E=dw/dt-мгновенное угловое ускорение

E=dw/dt=dww₀/dt+wdw₀/dt

E_||=dww₀/dt; E_перп.=wdw₀/dt

6. Cкорости и ускорения точек твердого тела, имеющего одну неподвижную точку.

Скорость

V=[w*r] – вектор скорости какой-нибудь точки

V=wh, h-расстояние между точкой и МОВ

Ускорение

А=V’=[w’*r]+[w*r’]=[E*r]+[w*v]

а₁=[E*r]-вращательное ускорение. По модулю а₁=ErsinB=Eh

а₂=[w*v]-осестремительное ускорение. По модулю а₂=wVsin90=w₂h

Статика-учение о силах и об условиях равновесия материальных тел под действием сил.

1. Основные аксиомы статики. Связи. Реакции связей.

Твердое тело-тело, которое сохраняет объем и форму, относительно двух точек остается неизменным.

Силы, рассматриваемые в механике можно разделить на векторные (помимо числового значения, хар. еще и направлением) и скалярные (полностью хар. числовым значением)

Сила - ВФВ, характеризующая взаимодействие тел. Ее действие на тело определяется

1)числовым значением или модулем силы (модуль силы находят путем сравнения ее с СИ)

2)направлением силы – прямая, вдоль которой направлена сила.

3)точкой приложения силы

Система сил - совокупность сил, действующих на рассматриваемое тело. Если линии действия всех сил лежат в одной плоскости, система сил называется плоской, если эти линии действия не лежат в одной плоскости – пространственной. Линии действия которых пересекаются в одной точке, называются сходящимися, а силы, линии действия которых параллельны друг другу - параллельными.

Телу, которому из данного положения можно сообщить любое перемещение в пространстве, называется свободным.

Если одну систему сил, действующих на свободное твердое тело, можно заменить другой системой, не изменяя при этом состояния покоя или движения, в котором находится тело, то такие две системы сил называются эквивалентными.

Система сил, под действием которой свободное т.т. может находится в покое, называется уравновешенной или эквивалентной нулю

Если данная система сил эквивалентна одной силе, то эта сила называется равнодействующей данной системы сил. Сила равная по модулю равнодействующей, прямо противоположная ей по направлению и действующая вдоль той же прямой, называется уравновешивающей силой.

Силы, действующие на данное тело, можно разделить на внешние и внутренние. Внешними называются силы, которые действуют на это тело со стороны других тел, а внутренние – силы, с которыми части данного тела действуют друг на друга.

Сила, приложенная к телу в какой-нибудь одной его точке - сосредоточенные, а на все точки или данной части поверхности – распределенными.

Линия действия этой равнодействующей проходит через точку, называемую центром тяжести тела

Аксиомы

1. Если на свободное абсолютно твердое тело действуют две силы, то тело может находится в равновесии тогда и только тогда, когда силы равны по модулю (F1=F2) и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны

2. Действие данной системы сил на абсолютно твердое тело не изменяется, если к ней прибавить или отнять уравновешенную систему сил. Следствие: действие силы на абсолютно т.т. не изменится, если перенести точку приложения силы вдоль ее линии действия в любую другую точку тела.

3. Две силы, приложенные в одной точке имеют равнодействующую.

4. Закон равенства действия и противодействия – 3 закон Ньютона, следовательно, сумма всех внутренних сил равна нулю

5 (принцип отвердевания). Равновесие деформируемого тела не нарушится, если тело считать отвердевшим, т.е. абсолютно твердым. Из аксиомы следует, что условия равновесия сил, приложенных к твердому телу, являются необходимыми, но не достаточными для равновесия деформируемого тела. Принцип отвердевания устанавливает связь между условиями равновесия сил, приложенных к твердому и деформируемому телам. Этот принцип широко используется в инженерных расчетах. Он позволяет при составлении условий равновесия рассматривать любое изменяемое тело (ремень, трос, цепь), как абсолютно твердое и применять к нему методы статики твердого тела.

6 (принцип освобождаемости от связей). Всякое несвободное тело можно рассматривать как свободное, если отбросить наложенные на тело связи и заменить их действие реакциями связей

.

Связи и реакции связи.

Все то, что ограничивает перемещения данного тела в пространстве, называют связью. Сила, с которой данная связь действует на тело, препятствуя тем или иным его превращениям, называется силой реакции (противодействия) связи или просто реакцией связи.