52. Экстремум функции двух переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума.
Пусть
функция z
= f(x;
y)
определена в некоторой области D,
точка N(
D.
Точка (
называется
точкой максимума функции z
= f(x;
y),
если существует такая окрестность точки
(
,
что для каждой точки (x;
y),
отличной от м из этой окрестности
выполняется неравенство f(x;
y)<
f(
.
Необходимое
условие: Если в точке N(
дифференцируемая функция z
= f(x;
y)
имеет экстремум, то ее частные производные
в этой точке равны нулю.
Достаточное
условие: Пусть в стационарной точке (
и некоторой ее окрестности функция
f(x;y)
имеет непрерывные частные производные
до 2 порядка включительно. Вычислим в
точке (
значения A=
B=
Обозначим
=AC-B*2
Тогда:
1)Если
>0,
то функция f(x;
y)
в точке (
имеет экстремум. Максимум, если A<0,
минимум, если A>0
2) Если <0, то функция экстремума не имеет.