23. Признак Даламбера.

Теорема: Пусть дан ряд с положительными членами и существует конечный или бесконечный предел . Тогда ряд сходится при l<1 и расходится при l>1.

Док-во: По определению предела для любого ɛ>0 найдется натуральное число N такое, что при n>N выполняется неравенство или .

Пусть l < 1. Можно подобрать так, что число l+ < 1. Обозначим l+ =q, q<1. Тогда из правой части неравенства получаем <q или В силу свойству рядов (3) можно считать, что для всех n=1,2,3,…Давая номеру эти значения, получим серию неравенств: , ,

, т.е. члены ряда меньше соответствующих членов ряда , который сходится, как ряд геометрической прогрессии со знаменателем 0<q<1. Тогда, на основании пр. ср. сходится исходный ряд.

Пусть l > 1. В этом случае . Отсюда следует, что, начиная с некоторого номера N, выполняется неравенство >1 или То есть, члены ряда возрастают с увеличением номера n. Поэтому ≠0. Значит ряд расходится.

24. Радикальный признак Коши.

Пусть дан ряд с положительными членами и существует конечный или бесконечный предел Тогда ряд сходится при l < 1 и расходится при l > 1. Док-во аналагично доказательству признака Даламбера.

25. Интегральный признак Коши-Маклорена.

Если члены знакоположительного ряда могут быть представлены как числовые значения некоторой непрерывной монотонно убывающей на промежутке [1; +∞) функции f(x) так, что =f(1), =f(n), то:

1) Если сходится, то сходится и ряд

2) Если расходится, то расходится и ряд

Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком y=f(x), основанием которой служит отрезок оси Ох от х=1 до х=n. Построим прямоугольники. Учитывая геом. смысл получим .

Случай 1: Несобственный интеграл сходится, т.е. равен А. Поскольку , то с учетом первоначального неравенства имеем: . Так как последовательность частичных сумм монотонно возрастает и ограничена сверху, то по пр. сущ. Предела, имеет предел. Следовательно, ряд сходится.

Случай 2: Несобственный интеграл сходится, т.е. равен +∞ и интегралы неограниченно возрастают при n ∞. Учитывая, что , получаем, что ∞ при n ∞. Следовательно, первоначальный ряд расходится.

26. Знакопеременные ряды. Понятие абсолютной сходимости. Теорема Коши об абсолютной сходимости.

Знакопеременный ряд – это числовой ряд , содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов.

Теорема: Пусть дан знакопеременный ряд u₁+u₂+u₃+…+u_n+…

Если сходится ряд |u_1|+|u₂|+|u₃|+…+|u_n|+…, составленный из модулей членов данного ряда, то сходится абсолютно и сам знакопеременный ряд.

Док-во: Рассмотрим вспомогательный ряд, составленный из членов данных рядов: , очевидно, что 0 ≤ ≤ 2| для всех n∈N. Но ряд

Сходится. Следовательно, на основании пр. сравнения сходится и ряд . Поскольку данный знакопеременный ряд представляет собой разность двух сходящихся рядов = - , то на основании 2 св-ва рядов он сходится.

27. Условная сходимость рядов. Теорема Лейбница.

Условно сходящийся знакопеременный ряд – это ряд, который сходится, а ряд, составленный из модулей его членов расходится.

Теорема Лейбница: Знакочередующийся ряд сходится, если: 1) Последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает

2) Общий член ряда стремится к нулю, при этом сумма S ряда удовлетворяет неравенствам 0 < S <

Например, сходится, а ряд, составленный из модулей членов данного ряда расходится.