17.Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Теорема о сходимости таких интегралов.

Несобственный интеграл – это определенный интеграл от непрерывной функции, но с бесконечным промежутком интегрирования или определенный интеграл с конечным промежутком интегрирования, но от функции, имеющей на нем бесконечный разрыв.

Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке [a; +∞). Если существует конечный предел , то его называют несобственным интегралом 1 рода и обозначают . Т.е . В этом случае несобственный интеграл сходится. А если указанный предел не существует или бесконечен, то интеграл расходится.

Теорема (пр. ср.): Из сходимости большего интеграла следует сходимость меньшего

Теорема: Если существует предел , то интегралы ведут себя одинаково в плане сходимости.

18. Несобственные интегралы от неограниченных функций.

Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке [a; b) и имеет бесконечный разрыв при x=b. Если существует конечный предел , то его называют несобственным интегралом 2 рода и обозначают .

Т.е. = . Если предел в правой части существует, то несобственный интеграл сходится.

Теорема (пр. ср.): Из сходимости большего интеграла следует сходимость меньшего

Теорема: Если существует предел , то интегралы ведут себя одинаково в плане сходимости (b-точка разрыва).

19. Абсолютная сходимость несобственных интегралов.

Для беск. Пределов: Если сходится , то сходится абсолютно

Для неогр. Функций: Если сходится , то сходится абсолютно

20. Числовые ряды. Частичные суммы. Сходимость ряда. Теорема об общем члене сходящегося ряда.

Числовой ряд – выражение вида , где - члены ряда, – общий член

Сумма первых n членов рада называется n-й частичной суммой ряда и обозначается S_n.

Если существует конечный предел S= , то этот предел – сумма ряда, и ряд сходится. Если предел не существует или равен бесконечности, то ряд расходится.

21. Основные свойства рядов. Остаток ряда. Теорема об остатке ряда.

Свойство 1: Если ряд сходится, его сумма равна S и в нем каждый член ряда умножить на произвольную константу, то получившийся ряд также сходится и сумма его равна cS

Свойство 2: Если сходится ряд и сходится ряд , а их суммы равны S₁ и S₂ соответственно, то сходятся и ряды и сумма каждого равна S₁ ± S₂

Свойство 3: Если к ряду прибавить или отбросить конечное число членов, то полученный ряд и первоначальный ряд сходятся или расходятся одновременно.

Ряд u_n+1 + u_n+2 +… = называется n-м остатком ряда . Следовательно, исходя из свойства 3 исходный ряд и получившийся ряд одновременно сходятся или расходятся. Если ряд сходится, то его остаток стремится к нулю при n

22. Положительные ряды. Признаки сходимости (теоремы сравнения)

Теорема пр.ср.: Пусть даны два знакоположительных ряда (1), . Если для всех n выполняется равенство u_n≤v_n, то из сходимости (2) ряда следует сходимость (1). Из расходимости (1) ряда следует расходимость (2).

Док-во: Из неравенства u_n≤v_n следует, что n-я частичная сумма (2) ряда больше или равна частичной сумме (1) ряда ( ≤ . Пусть ряд (2) сходится и его сумма равна S₂. Тогда S_2. Члены ряда (2) положительны, поэтому <S₂ и с учетом неравенства ≤ , ≤S₂. Таким образом, последовательность монотонно возрастает (u_n>0) и ограничена сверху числом S₂. По признаку существования предела последовательность имеет предел S₁, т.е. ряд сходится.

Пусть теперь ряд (1) расходится. Так как члены ряда неотрицательны, в этом случае имеем . С учетом неравенства ≤ следует, что . Т.е. ряд (2) расходится.

Теорема (предельный пр. ср): Пусть даны два знакоположительных ряда (1) и (2). Если существует конечный, отличный от 0 предел , то ряды (1) и (2) сходятся или расходятся одновременно.

Док-во: Пусть (A-ɛ)v_n<u_n<(A+ɛ)v_n Если ряд (1) сходится, то из левого неравенства и теоремы пр. ср. вытекает, что также сходится. Следовательно, тогда и ряд (2) сходится. Если ряд (1) расходится, то их правого равенства и теоремы пр. ср. вытекает, что рад (2) расходится.