1. Погрешности геодезических измерений. Свойства случайных погрешностей измерений.

Если принять какую-то в-ну за истинную X, измерив ее, получим результат измерения l. l-X=∆, ∆ - истинная ошибка погрешности измерения в общем случае рассматривают как сумму трех составляющих ее видов погрешности: грубой, систематической, случайной.

Ошибки бывают: элементарные (зависят от одного фактора), совокупные (несколько факторов), по происхождению, по причине.

Классификация ошибочных измерений:

1. Грубые ошибки, которые при заданных условиях измерений превышают установленный предел. Грубые ошибки – результат просчета. Их обнаруживают повторными измерениями и исключают.

2. Систематические ошибки, которые сохраняют свой знак и в-ну или изменяются по в-не в небольших пределах. Возникают из-за неправильной методики измерений, неисправности прибора, внешних условий. Их полностью исключить нельзя, можно уменьшить.

3. Случайные ошибки, характер и влияние которых на каждое отдельное измерение остаются неизвестными.

Свойства случайных погрешностей:

- Случайная ошибка в заданных условиях измерения не может превышать установленного предела;

- Положительные и отрицательные ошибки равновозможны;

- Малые по абсолютн. в-не ошибки встречаются чаще, чем большие;

- Предел среднего арифметического из суммы случайной ошибки стремится к нулю, если число изм. m стремится к бесконечности.

2. Нивелирование. Методы нивелирования.

Нивелирование-изменение превышений.

-Геометрическое нивелирование - выполняется горизонтальным лучом визирования

-Тригонометрическое – выполняется наклонным лучом визирования.

-Физическое - основано на использовании различных физических явлений (барометр. нивелиров.,гидростатич.,гидродинамич.)

Б19

1. Критерии, используемые при оценке точности измерений. Оценка точности результатов равноточных измерений. Арифметическая середина

 

Если имеется ряд результатов равноточных измерений l1; l2; …; ln одной и той же величины, то за окончательное значение принимают среднюю арифметическую величину L из всех результатов.

.

Если истинное значение измеряемой величины х, то абсолютные ошибки будут равны:

Δ1= l1- х;

Δ2= l2- х;

………;

Δ n= ln- х,

                                                  ________

                                               [Δ] = [l] – nx.

Из суммы равенств получим, что .

В соответствии со свойством 4 случайных ошибок, с увеличением числа измерений величина  при n → ∞.

Следовательно, при бесконечно большом числе измерений, среднее арифметическое L будет стремиться к истинному значению измеряемой величины х.

Величина  при конечном числе измерений будет вероятнейшим значением определяемой величины, называемой арифметической серединой. Разность между результатом измерения и средним арифметическим называют уклонением от арифметической середины или вероятнейшими ошибками υ, т. е. l1 - L = υ1.

Сумма вероятнейших ошибок равняется нулю , если величина среднего арифметического не имела округлений.

В топографии и геодезии в качестве критериев точности измерений в основном применяют среднюю квадратическую ошибку и относительную ошибку.

Среднюю квадратическую ошибку отдельного результата измерения m вычисляют по формуле Гаусса: .

Формулу Гаусса можно использовать, когда известно истинное значе­ние измеренной величины, а для оценки точности величин, истинное значение которых неизвестно, применяется формула Бесселя , где υ – вероятнейшая ошибка.

Среднюю квадратическую ошибку арифметической середины М  выражают через среднюю квадратическую ошибку m отдельного изме­рения, т. е. .

Таким образом, средняя квадратическая ошибка арифметической середины из результатов равноточных измерений в  раз меньше средней квадратической ошибки результата отдельного измерения. Для уменьшения ошибки измерения, например, в 2 раза, количество измерений необходимо увеличить в 4 раза.

Применительно к конкретным условиям указывают критерий отбра­ковки результатов измерений. В качестве такого критерия служит пре­дельная ошибка. Для наиболее значимых измерений применяются повы­шенные требования к точности и величину предельной ошибки прини­мают равной 2m, т. е. Δпр.= 2m (удвоенное значение средней квадратической ошибки. Для менее значимых измерений принимается величина предельной ошибки равная 3m, т. е. Δпр.=3m (утроенное значение средней квадратической ошибки).

Пример, если при угловых измерениях m = 5˝, то «по правилу 2m» отбраковываются все результаты, значения которых по абсолютной величине больше 10˝, а применительно к «правилу 3m» отбраковываются – больше 15˝.

Для суждения о точности многих измерений недостаточно определения величины абсолютной ошибки, необходимо еще знать значение самой измеряемой величины. Так, для получения представления о точности линейных, площадных и других измерений применяется относительная ошибка.

Относительная ошибка – это отвлеченное число, выражающее отношение абсолютной ошибки к результату измерения. Относительную ошибку принято выражать простой дробью, числитель которой равен единице.

 – для отдельного результата измерений

 

 –для  арифметической середины.

Значение знаменателя принято округлять до двух значимых цифр. Чем больше знаменатель, тем выше точность выполненных работ.

Рассмотрим пример. Измерены две линии: одна длиной 220 м со средней квадратической ошибкой  0,17 м, другая – длиной 390 м со средней квадратической ошибкой  0,23 м, т. е. L1 = 220 м, m1= 0,17 м,  L2 = 390 м, m2=0,23 м. Какая из линий измерена точнее?

Подставив результаты измерений и вычислений в вышеприведенные формулы,получим,что относительная ошибка в первом случае будет равна , а во втором – . Следовательно, вторая линия измерена точнее, несмотря на большую величину абсолютной ошибки.