
Если функция
дифференцируема при всех
, то мы можем рассмотреть функцию
, сопоставляющую каждой точке
значение производной
. Эта функция
называется производной функции
, или первой производной от . Функция
, в свою очередь, может иметь производную во всех (или некоторых) точках интервала
, которую мы обозначим
и назовём второй производной функции . Если предположить, что вторая производная
существует во всех точках , то она может также иметь производную
, называемую третьей производной функции , и т. д. Вообще, n-й производной функции называется производная от предыдущей,
-й производной
:
Смотри тетрадь
Смотри тетрадь
Смотри тетрадь
Смотри тетрадь
Смотри тетрадь
Смотри тетрадь
Геометрическим смыслом полного дифференциала функции двух переменных f(x, y) в точке (х0, у0) является приращение аппликаты (координаты z) касательной плоскости к поверхности при переходе от точки (х0, у0) к точке (х0+Dх, у0+Dу).
Эту главную часть приращения функции, пропорциональную приращению аргумента, называют дифференциалом функции и обозначают символом dy: dy=y/x
Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента.
??????????????????????????????????????????
Дифференциал функции
в точке
имеет вид:
где
— дифференциал тождественного отображения
:
Пусть теперь
Тогда
,
и согласно цепному правилу:
Таким образом, форма первого дифференциала остаётся одной и той же вне зависимости от того, является ли переменная функцией или нет.
Дифференциал высшего порядка функции одной переменной
Для функции, зависящей
от одной переменной
второй и третий дифференциалы выглядят
так:
Отсюда можно вывести общий вид дифференциала n-го порядка от функции :
При вычислении дифференциалов
высших порядков очень важно, что
есть произвольное и не зависящее от
,
которое при дифференцировании по
следует рассматривать как постоянный
множитель.
Дифференциал высшего порядка функции нескольких переменных
Если функция
имеет непрерывные частные производные
второго порядка, то дифференциал второго
порядка определяется так:
.
Символически общий вид
дифференциала n-го порядка от функции
выглядит следующим образом:
где
,
а
произвольные приращения независимых
переменных
.
Приращения рассматриваются как постоянные и остаются одними и теми же при переходе от одного дифференциала к следующему. Сложность выражения дифференциала возрастает с увеличением числа переменных.
Если указано правило, согласно которому с каждой точкой М плоскости (или какой-нибудь части плоскости) сопоставляется некоторое число u, то говорят, что на плоскости (или на части плоскости) «задана функция точки»; задание функции символически выражается равенством вида u=f(M). Число u, сопоставляемое с точкой М, называется значением данной функции в точке М. Например, если А - фиксированная точка плоскости, М - произвольная точка, то расстояние от А до М есть функция точки М. В данном случае f(m)=AM.
С помощью таблиц, в которых указывается зависимость между значениями агрумента и значениями функции, такой способ подходит для функций, у которых аргумент принимает небольшое количество значений. Так в следующей таблице описана функция, которая показывает зависимость количества пылесосов, выпущенных заводом в зависимости от номера месяца
С помощью графиков
С помощью формулы- это наиболее распространенный способ.
Как было сказано выше, наиболее распространенным способом задания функции, является задание функции с помощью формулы. Формула позволяет для любого значения аргумента находить соответствующее значение функции путем вычислений.
Линией уровня функции двух переменных называется геометрическое место точек, в которых функция принимает одно и то же значение. Линии уровня функции z = f(x, y) определяются уравнением f(x, y)=const.
Если существует конечный предел отношения частного приращения по x функции f(x,y,z) в точке M0(x0,y0,z0) к вызвавшему его приращению Δx при Δx 0, то этот предел называется частной производной по х функции u=f(x,y,z) в точке М0.
Градиент (от лат. gradiens, род. падеж gradientis — шагающий) — характеристика, показывающая направление наискорейшего возрастания некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой. Например, если взять высоту поверхности Земли над уровнем моря (2-мерное пространство), то её градиент в каждой точке поверхности будет показывать «в горку».
Для любого постоянного числа и скалярных полей справедливо следующее:
Линейность
Правило Лейбница
,
где
— скалярное произведение векторов
и
.
Пусть задана функция f(x, y). Тогда каждая из ее частных производных(если они, конечно, существуют)
и
, которые называются также частными производными первого порядка, снова являются функцией независимых переменных x, y и может, следовательно также иметь частные производные. Частная производная
обозначается через
или
, а
через
или
. Таким образом,
,
и, аналогично,
,
.
Производные
и называются частными производными
второго порядка. Определение:Частной
производной второго порядка от функции
z=f(x;y) дифференцируемой в области
D,называется первая производная от
соответствующей частной производной.
Рассматривая частные производные от
них, получим всевозможные частные
производные третьего порядка:
,
,
и т. д.
Предположим,
что
— некоторый
-угольник,
а функция
осуществляет конформное отображение
на
.
Тогда
можно представить в виде
,
где
— прообразы вершин
на вещественной оси,
— радианные меры соответствующих
внутренних углов, деленные на
(то есть, развернутый угол соответствует
нулевой степени), а
и
— так называемые акцессорные параметры.
Интеграл в правой части имеет собственное
название — его называют интегралом
Шварца — Кристоффеля I рода.
В случае, если прообраз одной из вершин многоугольника находится в бесконечности, то формула немного видоизменяется. Если -ая вершина имеет своим прообразом бесконечно удалённую точку, то формула будет иметь вид
,
то есть множитель, соответствующий этой вершине, будет просто отсутствовать. Такой интеграл будет интегралом Шварца — Кристоффеля II рода.
Трудность использования этих формул состоит в том, что точки , как и акцессорные параметры, в общем случае неизвестны. Для их вычисления обычно на многоугольник накладываются какие-то дополнительные нормировки, либо вычисление производится приближённо (что применяется на практике).
↑
Говорят, что функция
имеет максимум в точке
, т.е. при
, если
для всех точек
, достаточно близких к точке
и отличных от неё.
Говорят,
что функция
имеет минимум в точке
,
т.е. при
,
если
для всех точек
,
достаточно близких к точке
и отличных от неё.
Максимум и минимум функции называются экстремумами функции.
Теорема
(необходимое условие
экстремума функции двух переменных).
Если функция
достигает экстремума при
,
то каждая частная производная первого
порядка от
или обращается в нуль при этих значениях
аргументов, или не существует.
Теорема (достаточное условие экстремума функции двух переменных). Пусть в некоторой области, содержащей точку функция имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно. Пусть, кроме того, точка является критической точкой функции
, т.е.
,
тогда при :
1)
имеет максимум, если дискриминант
и
,
где
;
2)
имеет минимум, если дискриминант
и
;
3)
не имеет ни минимума, ни максимума, если
дискриминант
;
4)
если
,
то экстремум может быть, а может и не
быть (требуется дополнительное
исследование).
Первообра́зной или примити́вной функцией (иногда называют также антипроизводной) данной функции f называют такую F, производная которой (на всей области определения) равна f, то есть F ′ = f. Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределённого интеграла, а сам процесс называется интегрированием.
Так,
например, функция
является первообразной
.
Так как производная константы равна
нулю,
будет иметь бесконечное количество
первообразных; таких как
или
… и т. д.; таким образом семейство
первообразных функции
можно обозначить как
,
где C — любое число. Графики таких
первообразных смещены вертикально
относительно друг друга, и их положение
зависит от значения C.
Неопределённый
интегра́л для функции
— это совокупность всех первообразных
данной функции.
Если
функция
определена и непрерывна на промежутке
и
— её первообразная, то есть при
,
то
где С — произвольная постоянная.
Если
,
то и
,
где
— произвольная функция, имеющая
непрерывную производную
Свойства первообразных и неопределённого интеграла вытекают из определения и соответствующих свойств производных.
1. Из определения вытекает, что
и
Второе равенство нужно понимать так, что производная любой из функций, составляющих неопределённый интеграл, даёт один и тот же результат, равный подынтегральной функции (это как раз и есть определение первообразной). Два написанных равенства выражают взаимную обратность операций дифференцирования и интегрирования.
2. Имеет место равенство:
где
-- произвольная постоянная. Для
доказательства обозначим через
некоторую первообразную для
,
а через
-- некоторую первообразную для
.
Тогда равенство означает, что
, где
-- постоянная. Это равенство верно,
поскольку производные левой и правой
частей дают одно и то же:
,
так как
-- первообразная для
,
а
, так как постоянный множитель можно
вынести за знак производной и
.
Итак, постоянный множитель можно вынесить за знак интеграла.
3. Интеграл от суммы равен сумме интегралов:
Действительно,
пусть первообразная для
равна
, для
равна
, а для
равна
.
Тогда равенство означает, что
где
.
Поскольку
и
то равенство верно; при этом мы воспользовались тем, что производная суммы равна сумме производных.
Свойства
2 и 3 называются свойствами линейности
неопределённого интеграла. Из них
следует, что для любых постоянных
и
и, в частности,
Более традиционный подход к аналитическим функциям основан на понятии производной. Из математического анализа берется элементарное определение производной и ставится вопрос, может ли функция F иметь комплексную производную Fў, задаваемую такой же формулой, как в анализе
Свойство инвариантности формул интегрирования
Всякая
формула интегрирования (см. таблицу)
сохраняет свой вид при подстановке
вместо независимой переменной любой
дифференцируемой функции, то есть если
где
то
где
– любая дифференцируемая функция.
Так,
например, если
,
то
где
– функция от