2.3. Метод узловых потенциалов
Метод выводится из метода непосредственного применения законов Кирхгофа путем исключения уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа, и замены переменных токов на потенциалы узлов. Полученная система из (n-1) уравнений решается относительно неизвестных потенциалов узлов, далее токи в ветвях находятся по обобщенному закону Ома.
Порядок расчета рассмотрим на том же примере, рис. 2.4.
Дано:
E1 = 100 B, E2 = 200 B, R1 = 10 Oм, R2 = 15 Oм,
R3 = 20 Oм, R4 = 25 Oм, R5 = 30 Oм, R6 = 35 Oм.
Решение.
1. Определим число уравнений: n - 1 = 4 - 1 = 3, где n - число узлов. Заземлим четвертый узел, потенциал его примем равным нулю 4 = 0.
2. Составим систему из трех уравнений относительно неизвестных потенциалов 1, 2 и 3 по следующему правилу:
а) Рассмотрим первый узел. Потенциал этого узла 1 умножим на сумму проводимостей ветвей, образующих этот узел (G1 + G4 + G6), минус потенциал второго узла 2 , умноженный на проводимость ветви между первым и вторым узлами G2, минус потенциал третьего узла 3, умноженный на проводимость ветви между первым и третьим узлами G6, полученная сумма равна алгебраической сумме призведений э.д.с. ветвей,
Рис. 2.4
образующих первый узел, на соответствующую проводимость ветвей. При этом знак плюс берем, если стрелка э.д.с. направлена к рассматриваемому узлу, и знак минус, если стрелка э.д.с. направлена от него. В нашем примере: -E1 G1. Итак, первое уравнение имеет вид
(G1 + G4 + G6) 1 - G1 2 - G6 3 = - E1 G1 .
б) Рассмотрим второй узел и по аналогии составим второе уравнение
(G1 + G2 + G3) 2 - G1 1 - G3 3 = E1 G1 + E2 G1 .
в) Аналогично запишем уравнение для третьего узла:
(G3+ G5+ G6) 3 - G6 1 - G3 2 = 0 ,
здесь правая часть в уравнении равна нулю, т.к. ветви, образующие третий узел, не содержат э.д.с. .
Перепишем полученную систему уравнений:
(G1 + G4 + G6) 1 - G1 2 - G6 3 = - E1 G1 ,
-G1 1 + (G1 + G2 + G3) 2 - G3 3 = E1 G1 + E2 G2, (2.8)
- G6 1 - G3 2 + (G3 + G5 + G6) 3 = 0
или
G11 1 + G12 2 + G13 3 = I11 ,
G21 1 + G22 2 + G23 3 = I22, (2.9)
G31 1 + G32 2 + G33 3 = I33 ,
Здесь
G11 = G1 + G4 + G6, G12 = G21 = - G1 ,
G22 = G1 + G2 + G3, G13 = G31 = - G6 ,
G33 = G3 + G5 + G6, G23 = G32 = - G3 ,
I11 = - E1 G1,
I22 = E1 G1 + E2 G2,
I33 = 0.
Систему уравнений (2.9) можно записать в векторно-матричной форме
GΦ = I , |
(2.10) |
где
3. Решение системы (2.9) или (2.10) проводится теми же методами, что мы рассматривали в разделе 2.2. Ограничимся численным решением системы (2.8) на ЭВМ. Найдем проводимости ветвей:
Подставим найденные значения в (2.8):
0,1686 1 - 0,1 2 - 0,0286 3 = -10,
-0,1 1 + 0,2167 2 - 0,05 3 = 23,34,
-0,0286 1 - 0,05 2 + 0,1119 3 = 0.
Решение системы уравнений дает значения потенциалов: 1 = 36,9683 В, 2 = 141,5386 В , 3 = 72,6919 В.
Затем, произвольно выберем направление токов в ветвях, например, такое же, как в предыдущих методах, рис. 2.5.
Рис. 2.5
Используя обобщенный закон Ома, найдем токи в ветвях:
I1 = (1 – 2 + E1) G1 = (36,9683 - 141,5386 + 100) 0,1 = - 0,4570 A;
I2 = (2 – 4 – E2) G2 = (141,5386 - 0 - 200) 0,0667 = - 3,8994 А;
I3 = (1 – 2) G3 = (72,6919 - 141,5386) 0,05 = - 3,4423 A;
I4 = (1 – 4) G4 = (36,9683 - 0) 0,04 = 1,4787 A;
I5 = (4 - 3) G5 = (0 - 72,6919) 0,0333 = - 2,4206 A;
I6 = (3 – 1) G6 = (72,6916 - 36,9683) 0,0286 = 1,0217 A.
Значения токов практически совпадают с полученными ранее в разделах 2.1 и 2.2.