Среднее квадратическое отклонение

Средним квадратическнм отклонением случайной величины X (стандартом) называется квадратный корень из ее дисперсии

(18)

Из свойства 3 и формулы (18) следует, что в случае суммы взаимно независимых случайных величин справедлива формула

(19)

Пример 8. В условиях примера 7 найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение прибыли при n = 1000, р = 0,8, S= 100 тыс. ден. ед. и r = 30 %.

Решение. Ставка ссудного процента удовлетворяет условию, чтобы математическое ожидание прибыли было положительным, а именно: 30 > 100 (1 – 0,8)/0,8. Математическое ожидание прибыли

М (П) = Sn (rp/100 – q )= 100 * 1000 (30 * 0,8/100 – 0,2) = 4 млн ден.ед.

Среднее квадратическое отклонение прибыли

= (1 + r/100) S = 1,3^, 100 =

= 1644,38 тыс.ден.ед.

Коэффициент корреляции

Корреляционным моментом случайных величин X и Y или ковариацией называется математическое ожидание произведений их отклонений от математического ожидания случайных величин X и Y: (20)

Корреляционный момент служит для описания связи между случайными величинами X и Y. Из свойств математического ожидания легко убедиться в том, что можно записать в следующем виде:

(21)

или

Из формулы (21) следует, что корреляционный момент двух независимых случайных наличии равен нулю, так как для независимых СВ

Если корреляционный момент не равен нулю, то величины X и Y являются зависимыми.

Коэффициентом корреляции случайных величин X и Y называется отношение их корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин:

(22)

Коэффициент корреляции является безразмерным и не зависит от выбора системы измерения случайных величин, а его абсолютная величина не превосходит единицы:

или (23)

Две случайные величины X и Y называется коррелированными. если их корреляционный момент (коэффициент корреляции) отличен от нуля. Если же их корреляционный момент равен нулю, то X и Y называются некоррелированными. Таким образом, две коррелированные случайные величины (т.е. при ) являются также и зависимыми. Обратное утверждение неверно, т.е. две зависимые величины могут быть как коррелированными, так и некоррелированными

Линейная регрессия

Пусть (X, Y) — двумерная случайная величина, где X и Y — зависимые случайные величины. Оказывается возможным приближенное представление величины Y в виде линейной функции величины X:

(24)

где а и b — параметры, подлежащие определению. Обычно эти величины определяются с помощью метода наименьших квадратов.

Функция называется среднеквадратической регрессией Y на X

Линейная средняя квадратическая регрессия Y на X имеет вид

, (25)

где определяется формулой (22), т_у = М (Y) и т_x = М (X) — математические ожидания, соответственно, случайных величин Y и X.

Коэффициент b = называют коэффициентом регрессии Y на X, а прямую, реализующую линейную зависимость (25) случайной величины Y от случайной величины X,

(26)

– прямой среднеквадратической регрессии Y на X. Поскольку зависимость (26) является приближенной, то существует погрешность итога приближения, называемая остаточной дисперсией:

(27)

Для оценки среднеквадратичной погрешности линейной регрессии обычно используют величину .