7.Определение функции нескольких переменных. Способы задания ф.Н.П.

Если каждой паре (x;y) значений двух независимых друг от друга переменных величин x и y из некоторого множества D соответствует единственное определённое значение величины z, то говорят, что z есть функция двух независимых переменных x и y, определённая на множестве D

Обозначается

Способы задания функций нескольких переменных:

Аналитический, который может быть явным, неявным.

Табличный: для функции двух переменных – в виде таблицы с двумя входами

z ij= z (xi,yj), i=1,2,...,n, j=1,2,…,m

8.Линии и поверхности уровня.

Линией уровня функции двух переменных х и у называется геометрическое место точек на плоскости Х0У , в которых функция z=f(x,y) принимает одно и то же значение. Линии уровня функции z=f(x,y) определяются уравнением f(x,y)=C , где C=const . Изучая линии уровня функции, можно исследовать характер ее изменения, не прибегая к пространственному графику. Поверхностью уровня функции трех переменных x,y,z называется геометрическое место точек в пространстве, в которых функция u(x,y,z) принимает одно и то же значение. Уравнение поверхностей уровня имеет вид: u(x,y,z)=C.

9.Предел функции в точке, непрерывность ф.М.П.

Пусть функция z=f(x;y) определена в некоторой окрестности точки Мо(Xо;Yо), кроме, быть может, самой этой точки. Число А называется пределом функции z=f(x;y) при х→Xо и у→Yо (или, что то же самое, при М(х;у)→Мо(Xо;Yо)), если для любого ε> 0 существует > 0 такое, что для всех х Xо и у у₀ и удовлетворяю­щих неравенству < выполняется неравенство <ε. Записывают:

или

Функция z = f(x;у) (или f(М)) называется непрерывной в точ­ке Мо(хо;уо), если она:

а)определена в этой точке и некоторой ее окрестности,

б)имеет предел ,

в) этот предел равен значению функции z в точке М₀, т. е.

Функция z = f(x;у) называется непрерывной в точке М₀(X₀;Y₀) D, если выполняется равенство ,т. е. полное приращение функции в этой точке стремится к нулю, когда приращения ее аргументов x и у стремятся к нулю.

14.Локальные экстремумы ф.М.П.

Точка (хо;уо) называется точкой максимума функции z = f(х;у), если существует такая -окрестность точки (Xо; Yо), что для каждой точки (x; у), отличной от (хо;уо), из этой окрестности вы­полняется неравенство f(x; у) < f(Xо;Yо).Аналогично определяется точ­ка минимума функции: для всех точек (x; у), отличных от (Xо;Yо), из -окрестности точки (Xо;Yо) вы­полняется неравенство: f(x;у) >f(Xо;Уо).Значение функции в точке мак­симума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функ­ции называют ее экстремумами.

15. Необходимое условие существования экстремума

Если в точке N(хо;уо) дифференцируемая функция z=f(х;у) имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю: f’_х(хо;уо)=0,

f’y(х₀;уо)=0.