3. Формула Бернулли. Распределение Бернулли. Приближенные формулы Пуассона и Муавра – Лапласа.

Если производится несколько испытаний, причем вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания наз-т независимыми относит-но события А. Сложное событие-это совмещение нескольких отдельных событий.

Поставим задачу вычислить вероятность того, что при n испытаниях событие А осуществ-ся k раз и, след-но, не осущ-ся n-k раз (не требуется, чтобы событие А осущ-сь k раз в опред-й послед-сти). Эта задача решается с помощью ф-лы Бернулли. Вероятность одного сложного события, состоящего в том, что в n испытаниях событие А наступит k раз и не наступит n-k раз, по теореме умножения вероятностей независимых событий равна p^kq^n-k. Таких сложных событий может быть столько, сколько можно составить сочетаний из n эл-в по k эл-в, т.е. . Так как эти сложные события несовместны, то по теореме слож-я вероятностей несовм-х событий искомая вероятность равна сумме вероят-ей всех возмож-х слож-х событий (они одинаковы): P_n(k)= p^kq^n-k или P_n(k)= p^kq^n-k. Полученную ф-лу наз-т ф-лой Бернулли.

Но при больших значениях n ф-лой Бернулли пользоваться трудно, поэтому в таких случаях можно воспользоваться локальной Th Муавра-Лапласа или Th Пуассона.

Локальная Th Муавра-Лапласа: Если вероятность p появл-я события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность P_n(k) того, что событие А появ-ся в n испытаниях ровно k раз, приближенно равна значению ф-ции y=(1/ )*(1/ )* =(1/ )* (x) при x=(k-np)/ . По таблице можно найти знач-я ф-ции (x) ( (-x)= (x), т.е. она четна).

Интегральная Th Муавра-Лапласа: Если вероятность p появл-я события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность P_n(k₁, k₂) того, что событие А появ-ся в n испытаниях от k₁ до k₂ раз, приближенно равна опред-му интегралу P_n(k₁, k₂) (1/ ) dz, где =(k₁-np)/ и =(k₂-np)/ .

Однако, ф-ла Лапласа непригодна, если вероятность события мала p 0,1. В этих случаях n велико, p мало. Поставим задачу: найти вероятность того, что при очень большом числе испытаний, в каждом из которых вероятность события очень мала, событие наступит ровно k раз. Сделаем важное допущение: np= . Это означает, что среднее число появлений события в различных сериях испытаний, т.е. при различных знач-х n, остается неизменным. Воспользуемся ф-лой Бернулли для вычисления интересующей нас вероятности: P_n(k)= p^k(1-p)^n-k. Так как np= , то p= /n.

След-но, P_n(k)= ( /n)^k(1- /n)^n-k. Приняв во внимание, что n им.очень большое знач-е, вместо P_n(k) найдем P_n(k). Заметим, что поскольку np сохраняет постоянное значение, то при n вероятность p 0. Итак, P_n(k) ( )^k/(n)^k(1- /n)^n-k=[( )^k/k!] [1*(1-1/n)(1-2/n)…(1-(k-1)/n)(1- /n) ^n-k]= [( )^k/k!] (1- /n) ⁿ (1- /n) ^–k=[( )^k/k!] . Для простоты записи знак приближенного равенства опущен: P_n(k)= ( )^k /k!.

Распределение Бернулли. Пусть произ-ся n незав-х испытаний в каждом из кот-х событие А может появ-ся либо не появиться. Вероят-сть наступления события во всех испытаниях постоянна и равна р (вероят-сть непоявл-я q=1-p). Рас-м в кач-ве дискр-й СВ Х число появлений события А в этих испытаниях. Поставим задачу: найти закон распределения вел-ны Х. Для реш-я треб-ся опред-ть возможные знач-я Х и их вероятности. Событие А в n испытаниях может либо не появ-ся, либо появ-ся 1 раз, либо 2 раза, …, либо n раз. Т.о., возможные знач-я Х таковы: х₁=0, х₂=1,…, х_n+1=n. Остаеться найти вер-сть этих знач-й, воспольз-сь ф-лой Бернулли: P_n(k)= p^kq^n-k, где k=0,1,…, n – эта ф-ла явл-ся аналитическим выраж-ем искомого закона распределения. Биномиальным наз-т распредел-е вероятностей, опред-мое ф-лой Бернулли.

4. Случайная выборка. Дискретный и интервальный вариационный ряд. Полигон частот и частостей. Эмпирическая функция распределения. Выборочное среднее. Выборочная дисперсия и среднеквадратичное отклонение.