6. Числовые сравнения и их свойства. Теоремы Эйлера и Ферма. Линейные сравнения с одним неизвестным. Методы решения.

Опр: а,bZ называются сравнимыми по модулю |m|, если их разность делится на m ((a-b)m). аb(mod m) – число а сравнимо с числом b по модулю m(a-b)m. Пр: m=3, 85(mod 3). Теорема: (признак сравнимости 2-х чисел): 2-а числа a и b сравнимы по модулю m  когда a и b имеют одинаковые остатки при делении на m. Св-ва сравнения: 1группа (независят от модуля): 1)отношение сравнения явл-ся отношением эквивалентности: а)рефлексивно аа(mod m) б)симметрично аb(mod m) bа(mod m) в)транзитивно аb(mod m)  bс(mod m)  ас(mod m).

2)сравнения по одному и тому же модулю можно почленно складывать. Д-во: пусть аb(mod m)  сd(mod m); а+сb+d(mod m)-? a-b=mg, c-d=mt, где g,tZ. Сложим 2 равенства: (a+c)-(b+d)=m(g+t), а+сb+d(mod m).

3) 2 сравнения по одному и тому же модулю можно почленно вычитать одно из другого.

4)к обеим частям сравнения можно прибавить одно и тоже Z число. Д-во: аb(mod m); ); а+сb+с(mod m)-? a-b=mg, где g Z, сс(mod m) по св-ву (2) сложим: а+сb+с(mod m). След-е: члены сравнений можно переносить из одной части в другую, с противоположным знаком.

5)сравнения по одному и тому же модулю можно перемножать. След-е: обе части сравнения можно возводить в одну и туже Z неотрицательную степень.

6)обе части сравнения можно умножать на одно и тоже Z число.

2 группа (зависящие от модуля): 7) аb(mod m) и mn, то аb(mod n). Д-во: т.к. b(mod m), то (a-b)  m и по условию mn (по транзитивности) (a-b) n  аb(mod n).

8)Обе части сравнения и модуль можно умножить на одно и тоже Z положительное число. Д-во: аb(mod m), с>0,cZ; a-b=mg, умножим обе части на с: ac-bc=mcg. По определению сравнения  асbс(mod mс).

9)если ak bk(mod m), (k,m)=d,то аb(mod m/d). Д-во: d=(k,m), k=k₁d, m=m₁d. ak bk(mod m)  (ak-bk) m  k₁d (a-b) m₁d  (по св-вам отношения делимости) (a-b) k₁ m₁. Т.к. (k,m)=1  (a-b) m₁  аb(mod m₁), т.е. (mod m/d). чтд. След-е: 1.если d=k и mk, из того, что ak bk(mod m)  a b(mod m/k). 2.если d=1, т.е. (k,m)=1, то из того, что ak bk(mod m)  a b(mod m). Обе части сравнения можно разделить на их общий делитель взаимнопростой с m не меняя модуля. Пр: 60 9(mod 17), 603 и 93, (3,17)=1, то 20 3(mod 17). Замечание: делить обе части сравнения на одно и то же не взаимнопростое с модулем число нельзя (вообще говоря), т.к. после деления могут получиться числа не сравнимые по данному модулю. Пр: 8 4(mod 4) |4 , : 2 не 1(mod 4).

Классы вычетов по данному модулю: Опр: говорят, что 2-а числа ab  1-му и тому же классу вычетов по mod m, когда (a-b) m. Все числа  1-му и тому же классу вычетов по mod m имеют одинаковые остатки при делении на m. Поэтому можно обозначить классы вычетов с помощью этих остатков. При делении на m возможны остатки 0,1,2,…,m-1. Чтобы отличить классы вычетов от остатков, будем ставить черту. Т.о. класс вычетов 0 – состоит из чисел кратных m; 1 – состоит из чисел, которые при делении на m дают в остатке 1, ну и т.д. Из определения сравнения по mod m, получаем, что xZ  классу вычетов а по mod m, в том и только том случае, когда x=a+mt, где tZ, т.е. когда xa(mod m). Пр: пусть m=2. При делении на 2 возможны 2 случая: 0 и 1. 0 – все четные числа, 1- все нечетные числа. Чтобы сложить классы вычетов a и b по mod m, нужно взять из класса а элемент, а из b – b и их сложить.

Полная система вычетов. Выберем из каждого класса вычетов по mod m по одному и тому же числу. Получим m целых чисел: x₁,x₂,…,x_m. Множество { x₁,x₂,…,x_m} – полная система вычетов по mod m. Т.к. каждый класс вычетов содержит бесконечное множество элементов, то полное число вычетов бесконечно.

Пр: составим полную систему вычетов по mod m=2: 0={…-2,0,2…}; 1={…-3,-1,1…}. (0,1) – ПСВ, (2,3) – ПСВ.

Св-ва ПСВ:1. любую совокупность m – целых чисел x₁,x₂,…,x_m (1) попарно не сравнимых по mod m образуют полную систему вычетов по mod m. Д-во: 1)любое из чисел совокупности 1-го  некоторому классу вычетов по mod m. 2)любая пара (x_i,y_j), где ij, i,j=1,…,m из совокупности (1) несравнимы между собой, т.е. представляют собой не сравнимые по mod m числа (из усл.), т.е.  различным классам вычетов. 3)число вычетов в совокупности (1) равно m, т.е. ровно столько, сколько содержит ПСВ по mod m.

2.Пусть (a,m)=1, b – произвольное Z число, тогда если x₁,x₂,…,x_m явл-ся ПСВ по mod m, то ax₁+b, ax₂+b,…,ax_m+b (2) – также явл-ся ПСВ по mod m.

Приведенная система вычетов.

Теорема: числа одного и того же кл.вычетов по mod m, имеют с ним один и тот же НОД.

Опр: НОД mod m и любого числа а из данного кл.вычетов по mod m называется НОД m и этого кл.вычетов.

Опр: Кл.вычетов а(mod m) называется вз.простым с mod m, если НОД кл.вычетов а и m =1, т.е. m и каждое число из кл.вычета а – вз.просты. Выберем из каждого кл.вычетов, вз.простое с m, по одному числу, получим систему вычетов, состовляющую часть ПСВ. Ее называют приведенной системой вычетов по mod m.

Опр: совокупность вычетов по mod m, взятых по одному из каждого вз.простых кл.вычетов поэтому модулю называется приведенной системой вычетов.

Пусть число кл.вычетов вз.простых m равно k, тогда любая совокупность kZ x₁,x₂,…,x_k попарно несравнимых с m и вз.простых с m, представляет собой приведенную систему вычетов.

Функция Эйлера: Обозначим через (m) – число классов вычетов по mod m, вз.простых с m. Функция (m) – числовая функция и получила название Эйлера. Выберем в качестве представителей классов вычетов 1,2,…,m-1,m, тогда (m) – кол-во таких чисел (m) из перечисленных, которые взаимнопросты с m и не превосходящие m. Вычисление: 1)если m – пр.число, тоф-ция Эйлера (р)=р-1; 1,2,3,…,р-1 - поная система вычетов; р – простое число; 1,2,3,…,р-1 – вз.простые.

2)m=p^k, р – простое число, kN. (р^k)=p^k-1(p-1).

3)ф-ция Эйлера мультипликативна, т.е. для (m,n)=1 (m,n)= (m) (n).

Теорема Эйлера: если а – такое число, что (a,m)=1,то a^(m)1(mod m).

Д-во: рассмотрим группу Г_m – группа делителей одного в кольце вычетов Z_n. Эта группа коммутативна и содержит (m) элементов. Каждый элемент а группы Г_m порождает циклическую подгруппу, порядок S которой по теореме Лагранжа явл-ся делителем числа (m)=st. Число s называется порядком класса вычетов а, а поскольку а^st=1, то a^(m)= а^st =(а^s) ^t=1^t=1  для любого класса вычетов а из Г_m выполняется равенство: a^(m)=1. На языке сравнений a^(m)=1(mod m).

Пр: пусть а=2, m=9; (2;9)=1; 2^(9) 1(mod 9); (9)=6; 2⁶1(mod 9).

Малая теор. Ферма: если р - пр.число, аZ, (а,р)=1, то a^р-11(mod р).

(р)=р-1. По теореме Эйлера a^(р)=а^р-1 1(mod р).

Следствие: если р – пр.число, аZ, то а^р а(mod р).

Линейные сравнения с одним неизвестным.

axb(mod m) (1); a не 0(mod m).

Теор.1: если (а,m)=1, то (1) имеет решение и притом единственное.

Теор.2: если (а,m)=1, то решение сравнения axb(mod m) явл-ся класс xb a^(m)-1  1(mod m). Д-во: по условию (а,m)=1 сравнение (1) - имеет единственное решение. Согласно Т. Эйлера a^(m)1(mod m). a^(m)bb(mod m). Или аa^(m)-1bb(mod m). Сравнивая полученное сравнение с сравнением axb(mod m), приходим к выводу, что xb a^(m)-1 (mod m).

Теор.3: если (а,m) 1; (а,m)=d; d>1 и b не d, то сравнение axb(mod m) – решений не имеет.

Теорема4: если (а,m)=d; d>1 и b  d, то сравнение axb(mod m) – имеет d различных решений. Все эти решения образуют класс (m/d).

Уравнение с несколькими неизвестными имеет бесконечное множество решений, поэтому они называются неопределенными уравнениями (диафантовые). Покажем, что отыскание целочисленного решения 1 степени: ax+by=c (1), где a,b,сZ тесно связано с решением сравнений. Ограничимся решением, когда a,b0, x_0, y₀ какое – нибудь решение. Тогда ax₀+by₀=c  ax₀-с=-by₀ , т.о. (ax₀-с)  b_, а по определению сравнения axс(mod b). Обратно: пусть x₀ – это решение сравнения axс(mod b) , тогда имеем, что (ax₀-с)  b, а это означает, что существует целочисленное t, что выпол-ся: ax₀-с=bt  ax₀-bt=с; -t=y₀. ax₀+by₀=c, т.о. пара (x_0, y₀) явл-ся решением уравнения (1).