3. Кольцо многочленов над полем. Приводимые и неприводимые над полем многочлены. Теорема о разложении многочлена в произведение неприводимых множителей(доказательство)

Мн-ны над полем образуют кольцо, поэтому для них выполняются все св-ва кольца. Пусть Р[x]- это кольцо мн-нов над полем Р, тогда для  f,  Р[x]выполняются следующие св-ва: 1)f  Р[x] c  p  f  c. 2) f      f f = c , где с = const  Р.

Д-во: f  φ  φ  f  f= φh; φ=f g  f= f gh  def hg=0 h и g – постоянные из поля Р  f= φh, где h=const.

3) f  φ  g0  Р[x] fg  φg. 4) fg  φg и g0  Р[x] f  φ.

Теорема о делении с остатком: ( f,φ0  Р[x])(! g,r  Р[x]) f=φg+r, r=0  deg r < deg φ.

Следствие: в кольце многочленов над полем выполняется теорема о делении с остатком  кольцо многочленов над полем – это Евклидово кольцо, значит оно и является кольцом главных идеалов, а это означает, что в кольце многочленов над полем есть понятие НОД и НОК у многочленов.

Св-ва НОД: НОД многочленов f₁ и f₂ называется такой многочлен, который явл-ся их общим делителем и  другой общий делитель этих идеалов явл-ся его делителем.

1)если φf ,то НОД(f,φ)= f. 2) если f=φg+r , то НОД(f,φ) = НОД(φ,r). На 1 и 2 св-вах основан алгоритм Евклида.

3) НОД(сf,g) = НОД(f,g), с = const, 0,  Р. 4) НОД(fh,gh) = hНОД(f,g). 5) НОД(f/h,g/h) = 1/hНОД(f,g).

Опред-е: Ненулевой многочлен, старший коэффициент которого =1 называется унитарным (нормированным) многочленом.

Опред-е: Многочлены f₁ , f₂ , …, f_s  Р[x] – взаимно просты, если их НОД ассоциирован с ненулевой константой из поля Р.

1⁰.Критерий взаимной простоты. Многочлены f и g вз.просты  когда  -ют многочлены U и V  Р[x]такие, что fU+gV=1.

необходимость: если f, g – вз.просты, то их НОД(f,g)1   U,V  Р[x], 1= fU+gV.

достаточность: пусть имеются многочлены f и g, для которых выполняется:  U,V  Р[x],что fU+gV=1. Обозначим НОД(f,g)= D, тогда по св-ву отношения делимости (fU+gV)  D  1 D и D 1 D 1.

2⁰. если 2 многочлена вз.просты с третьим, то их произведение вз.просто с этим многочленом: (f₁,g) 1  (f₂,g) 1 (f₁, f₂, g) 1.

Д-во: из условия и 1⁰  (U₁,V₁,U₂,V₂  Р[x]) 1= f₁U₁+gV₁, 1= f₂U₂+gV₂. Перемножим: f₁U₁ f₂U₂+ f₁U₁ gV₂+ gV₁ f₂U₂+ gV₁ gV₂=1

f₁f₂(U₁U₂)+ g(f₁U₁ gV₂+ V₁ f₂U₂+ V₁ gV₂)=1 f₁f₂ U+ gV=1.

3⁰. Если произведение 2-х многочленов делится на 3-й, причем 1-ый сомножитель вз.прост с этим многочленом, то 2-й делится на этот многочлен. f₁f₂ g (f₁ ,g) 1  f₂ g.

НОК. Общим кратным многочленом f₁ , …, f_s называется такой многочлен, который делится на -й из данных многочленов.

НОК – такое их общее кратное, на которое делится -е общее кратное этих многочленов.

1⁰. [f,g]=(fg)/ (f,g). Обозначим (f,g)=D  f/D и g/D  (f=f₁D; g=g₁D)*, где (f₁, g₁) 1 (в противном случае (f,g) D).

Обозначим (fg)/ (f,g)=h. h=f(g/D)=(f g₁D)/D= f g₁  hf.

h=g(f/D)=(g f₁D)/D= g f₁  hg.  h – общ. кратное f и g.

Пусть k – общее кратное многочленов f и g  kf и kg.

kf  k=fφ(**);kg  k= fφg  f₁Dφ  g₁D  f₁φ  g₁  (f₁, g₁) 1  (по 3⁰ св-ву)  φ  g₁  (φ= g₁t)(***).

h=(fg)/ (f,g)= (f₁D g₁D)/D = f₁g₁D из (**)k=fφ (***) fg₁t= f₁Dg₁t=ht  kh  h – НОК.

2⁰. [fu,gu]=u[f,g]. 3⁰. [f/u,g/u]=1/u[f,g].

Будем рассматривать многочлены над полем Р. Многочлены f  Р[x]называют приводимым над полем Р, если  такие многочлены f₁ и f₂  Р*[x], что f=f₁f₂, где 1deg f₁, deg f₂deg f.

Многочлен f  Р[x]неприводим, если он не явл-ся приводимым. Т.о. множ-во многочленов делится на 4 не пересекающихся класса: 1)нулевой мног-ен, 2)ненулевой константы (мног-ны 0 степени), 3)приводимые, 4)неприводимые.

Св-ва: 1⁰.p,f Р[x] из того, что р – неприводим и р1  f –неприводим.

2⁰.Пусть р₁ и р₂ – неприводимые мног-ны из Р[x],тогда если р₁  р₂  р₁ =ср₂ , где с =const 0 Р, т.е. р₁  р₂ .

Д-во: по условию р₁  р₂  р₁ =р₂h. Предположим, что h – мног-н из Р[x]   deg h 1; р₂ – неприводимый мног-н  deg р₂ >1;  р₁ – приводимый мног-н, а это противоречит условию  h = const  Р. Допустим, что h=0  р₁ =р₂h  р₁ =0, но р, по условию неприводим  р₁ 0  получили противоречие  р₁  р₂.

3⁰.Пусть р – неприводим, тогда ( f  Р[x]) либо f  р, либо (f,р) 1.

Д-во: может оказаться, что f  р, тогда все доказано. Пусть теперь f не  р. Обозначим НОД (f,р)= φ  р φ, по условию р – неприводим  φ=const  φ1  НОД(f,р) 1, т.е. f и p – вз.просты.

4⁰.Пусть р – неприводим, тогда для  мног-нов f₁ , …, f_s  Р[x] из того что (f₁f₂ … f_s )  р  что f₁  р  f₂  р  …  f_s  р.

Теорема:  мног-н положит-ой степени либо явл-ся неприводимым мног-ом, либо м.б. представлен в виде произведения ненулевой постоянной и неприводимых нормированных множителей, единственным образом с точностью до порядка следования сомножителей. - каноническое представление мног-на.