4. Метод Ньютона(метод касательных)

4.1.Теория метода Ньютона

y

f(b)

f(c₀)

a c₀ b x

f(a)

Пусть корень уравнения отделен на , причем и сохраняют свои знаки на всем и непрерывны. Геометрически метод Ньютона эквивалентен замене небольшой дуги касательной, проведенной в некоторой точке кривой. Положим для определенности, что при и , получим расчетную формулу метода Ньютона. Уравнение касательной, проходящей через точку :

. Полагая получим абсциссу точки пересечения касательной с осью Ох.

. Корень . Применяя снова метод Ньютона, проведем касательную в точке , тогда абсцисса точки пересечения касательной с осью Ох равна: . Повторяя процесс, найдем общую формулу: .

Теорема(о достаточных условиях сходимости метода Ньютона)

Пусть выполняется условие:

1)функция определена и дважды дифференцируема на

2)отрезку принадлежит только один простой корень ,

3) и на сохраняют знак и

4)начальное приближение удовлетворяет неравенству , тогда с помощью (1) можно вычислить корень уравнения с любой точностью.

Метод Ньютона применяется и для случая крайних корней.

Алгоритм метода Ньютона:

1.Задать начальное приближение , т.е., выбрать тот конец отрезка ,

которому отвечает ордината того же знака, что и знак .

_{2.Задать малое положительное число и k=0.}

_{3.Вычислить по формуле (1).}

_{4.Если -процесс завершен, т.е., ,если же , то перейти в п.3.}

4.2.Постановка задачи

Решить уравнение методом Ньютона с точностью до 0,001.

4.3.Решение задачи

=0.001;

Находим и . Проверяем условие сходимости: - .

Строим таблицу:

xk	f(xk)	f'(xk)	xk+1	|xk+1-xk|	конец
1	0,191339	1,040719	0,816148	0,183852	нет
0,816147611	0,02037	0,810456	0,791014	0,025134	нет
0,791013941	0,000441	0,775275	0,790446	0,000568	да

Вывод

Из всех методов, на мой взгляд, наиболее удобным является метод половинного деления. Этот метод требует меньше времени, по сравнению с другими методами. Метод половинного деления позволяет найти простой корень уравнения для любой непрерывной функции для любых (а₀;b₀), таких, что , но не обобщается на системы линейных уравнений и не может использоваться для нахождения корней четной кратности.

Метод итерации, метод Ньютона, геометрическая интерпретация метода итерации требуют нахождения первой и второй производных, а также проверки условия сходимости.

13