93. Вынуждение механические колебания.

Вынуждение механические колебания- незатухаю щие колебания, возникающие под действием вне шней, периодически изменяющейся силы. В этом случае колебания пружинного маятника будут описываться следующим уравнением: d²x/dt²+ 2β(dx/dy)+ω²x=(F_o/m)cosωt. F_o- некоторое амплитуд ное значение силы. Решение: x=Acos(ωt-φ); A=(F_o/ m)/(ω_o²-ω²)+4β²ω²; φ=arctg2βω/ω_o²-ω². Резонансн ая частота- частота, при которой амплитуда смещ ения достигает максимума. Чтобы найти её, необ ходимо продифференцировать уравнение и воз вести в квадрат. –4(ω_o²-ω²)ω+8β²ω=0; ω_рез.=ω_o²-2β². Механический резонанс- явление резонансного возрастания амплитуды вынуждающих колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к частоте, равной собственной частоте колеблющей ся системы. С ростом затухания, акмплитуда в точ ке резонанса уменьшается. При ω0, все резонан сные кривые достигают одного значения: F_o/mω_o²- статического отклонения.

колеблю щегося процесса и энергии. Поэтому основным свойством всех волн, не зависимо от их приро

94. Продольные и поперечные волны, длина волны, график поперечной волны, распространяющейся со скоростью V вдоль оси х, волновой фронт, волновая поверхность.

Колебания, возбужденные в какой-либо точке среды, распространяются в ней с конечной скоростью, зависящей от свойств среды. Чем дальше распространена частица от источника колебаний, тем позднее она начнет колебаться. Волна – это процесс распространения колеба ний в сплошной среде. Сплошная среда – это среда, равномерно распространяющаяся в пространстве, обладающая упругим свойством. При распространении волны частицы среды не движутся вместе с волной, а колеблются около положения равновесия от частицы к частице среды передается лишь состояние ды, является перенос энергии без переноса вещества. Упругие волны – это механические возмущения, распространяющиеся в упругой среде. Волны бывают продольные и поперечные. Продольные волны – это волны, в которых частицы среды колеблются вдоль направления распространения волны. Поперечные волны – это волны, в которых частицы среды колеблются перпендикулярно направлению распростране ния волны. Продольные волны существуют там, где существуют деформации сжатия и растяже ния. Т.к. эти деформации существуют во всех трех средах, то продольные волны могут распро страняться в твердой, жидкой и газообразной средах. За существование поперечных волн отвечают деформации сдвига. Поэтому попере чные волны существуют в твердых телах и на по верхности жидкости. Внутри жидкости и газа попе речные волны не распространяются. Упругая вол на называется гармонической, если соответств ующие ей колебания частиц среды являются гармоническими. Длина волны – это расстояние между двумя ближайшими частицами, колеб лющимися в одной фазе. Это расстояние, на которое распространяется фаза за время равное периоду: λ = υТ; νλ = υ. График гармо нической поперечной волны, распространяющей ся со скоростью υ вдоль оси Х – это зависимость между смещением ζ частиц среды и расстоя нием Х этих частиц от колебания в точке О в как ой-то фиксированный момент времени. Хотя приведенный график ζ (х, t) похож на график гармонических колебаний, но они различны по существу. Если график волны определяет зави симость всех частиц среды до источника коле баний в данный момент времени, то график колебаний – зависимость смещения частиц в данный момент времени. Волновой фронт – это геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t. Волновая повер хность – это геометрическое место частицы сре ды, колеблющихся в одинаковой фазе. Волновой фронт является волновой поверхностью.

95. Уравнение бегущей волны, фазовая скорость.

Бегущая волна – это волна, которая переносит энергию в пространстве. Количественной харак теристикой переноса энергии волнами является вектор плотности потока энергии (вектор Умова). Направление этого вектора совпадает с направ лением переноса энергии, а его модуль равен энергии, переносимой волной за единицу вре мени через единичную площадку, расположе нную перпендикулярную направле ниюраспрост ранения волны. Волны, для которых волновые по верхности есть совокупность параллельных плос костей, перпендикулярных направлению распр остранения волны, называются плоскими. Сфери ческие поверхности – это волны, для которых вол новыми поверхностями являются концентрическ ие поверхности, перпендикулярные направлению распространения волны. Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль положитель ного направления оси Х: ζ (х, t) = А cos (ω(t – x / υ) +φ₀); k = 2π / λ = 2π / υT = ω / υ; ζ (х, t) = Acos (ωt – kx + φ₀), где ζ (х, t) – смещение точек среды с координатами Х в момент времени t, к – волно вое число, υ – фазовая скорость. ω(t – x / υ) +φ₀ = const. ζ (х, t) = A/r cos (ωt – kx + φ₀), где r – рас стояние от центра волны до рассматриваемой точки среды.

96. Волновое уравнение, групповая скорость, связь групповой и фазовой скоростей.

Волновое уравнение – это дифференциальное уравнение в частных производных, описывающее распространение волн в однородной изотропной среде. ∂²ζ / ∂х² + ∂²ζ / ∂у² + ∂²ζ / ∂z² = (1/ υ²)*( ∂²ζ / ∂t²). Решением волнового уравнения является решение любой волны. ∂²ζ / ∂х² = (1/ υ²)*( ∂²ζ / ∂t²); ∆ζ = (1/ υ²)*( ∂²ζ / ∂t²) – волновое уравнение, запи санное с помощью оператора Лапласа. Прин цип суперпозиции волн. При распределении в линейной среде нескольких волн каждая из них распространяется так, как будто другие волны отсутствуют. Результирующее смещение частиц среды в любой момент времени равно геометри ческой сумме смещений, которую получают час тицы, участвуя в каждом из слагающих волновых процессов. Волновой пакет – это совокупность волн, мало отличающихся друг от друга по час тоте, занимающие в данный момент времени некую ограниченную область пространства. Скорость движения центра волнового пакета есть групповая скорость. Групповая скорость опреде ляется как U = dω / dk. Связь групповой и фазовой скоростей. Т.к. ω = υk, то U = dω / dk = d(υk) / dk = υ + k*(dυ /dk) = υ + k*((dυ / dλ) : (dk / dλ)) = υ + k*[dυ / dλ : d(2π / λ)/ dλ] = υ – λ*(dυ / dλ). В неди спергирующей среде (скорость волны не зави сит от частоты) групповая скорость равна фаз овой скорости υ = U.

97. Интерференция волн, интерференция двух когерентных сферических волн, условие минимумов и максимумов.

Две волны называются когерентными, если разность их фаз остается постоянной во времени. Очевидно, что когерентные волны имеют одинаковую частоту. Явление наложения в пространстве двух когерентных волн, при котором получается наложение или ослабление результирующей волны в зависимости от соотношения фаз между ними, называется интерференцией волн. Рассмотрим наложение двух когерентных сферических волн, возбуж даемых точечным источником колебаний с одинаковой амплитудой, частотой и разностью фаз. ζ₁ = A₀/r₁*cos (ωt – kr₁ + φ₁); . ζ₂ = A₀/r₂*cos (ωt – kr₂ + φ₂); A² = A₀²(1/r₁² + 1/r₂² + 2/r₁r₂ *cos [ k(r₁ – r₂) – (φ₁ – φ₂)]), где r₁ и r₂ – расстояния от источника до рассматриваемой точки, k – волновое число, А – амплитуда результирующих колебаний. Т.к. φ₁ – φ₂=const, то результат наложения двух волн зависят от разности r₁ – r₂, называемой разностью хода. Условия интерференционных максимумов и минимумов. 1) k(r₁ – r₂) = ±2πm, где m=0, 1, 2…; max A = A₀r₁ + A₀r₂; 2) k(r₁ – r₂) = ± (2m + 1)π; min A = A₀r₁ – A₀r₂, m – порядок интерференционного max и min.

98. Стоячие волны, пучность, узлы, различие между стоячей и бегущей волнами.

Стоячие волны – это волны, которые образуются при наложении двух бегущих волн, распростра няющихся навстречу друг другу с одинаковыми частотами и амплитудами. Уравнение стоячей волны: ζ₁ = Acos (ωt + kx); ζ₂ = Acos (ωt + kx); ζ = ζ₁ + ζ₂ = 2Acos(kx)*cos(ωt) – уравнение стоячей волны, k = 2π / λ – волновое число. Если 2Acos(kx) опи сывает амплитуду и 2πx / λ = ±mπ, то cos (kx) = 1 и амплитуда будет максимальна А = 2А; x = ±mπ / 2 – координаты пучностей. 2πx / λ = ± (m +½)π; x = ± (m + ½)*λ/2 – координаты узлов. Расстояние от пучности до узла равно λ/4, а расстояние от узла до узла или от пучности до пучности равно λ/2. Отличия стоячей волны от бегущей: 1) у бегущей волны фаза меняется, а у стоячей – фазы между соседними узлами одинаковы; 2) амплитуда бегущей волны постоянна, амплитуда стоячей волны зависит от координаты; 3) бегущая волна переносит энергию, стоячая – нет. Образование стоячих волн наблюдают при интерференции бегущей и отраженной волн. При отражении бегущей волны от границы может наблюдаться пучность или узел колебаний. Будет на границе узел или пучность, зависит от соотношения плотностей сред: 1) если среда, от которой происходит отражение, менее плотная, то в месте отражения образуется пучность; 2) если среда более плотная, образуется узел. Образование узла связано с тем, что волна, отражаясь от более плотной среды, меняет фазу на противоположную, и на границе происходит сложение двух колебаний противоположного направления и противоположных фаз, в результате получается узел. Если волна отража ется от менее плотной среды, то изменение фазы не происходит, и у границы складываются колебания с одинаковыми фазами, получается пучность.

99. Звуковые волны.

Звуковые волны – это упругие волны, распростра няющиеся в среде и обладающие частотами в пределах от 16 до 20 тысяч Гц. Волны, указанной частоты, воздействуя на слуховой аппарат чело века, вызывают ощущение звука. Волны с часто той меньше 16 кГц, называются инфрозвуковыми, с частотой больше 20 кГц – ультразвуковыми. Звуковые волны в газах и жидкостях могут быть продольными, т.к. эти среды обладают упругос тью, по отношению к деформациям сжатия и растяжения. В твердых телах звуковые волны могут быть продольными и поперечными, т.к. твердые тела обладают упругостью по отношению к деформациям сжатия, растяжения и сдвига. Интенсивность или сила звука – это величина, определяемая средней по времени энергией, переносимой звуковой волной за 1 секунду сквозь площадку 1 м², перпендикулярную к направлению распространения волны. I = U / St; [I] = Вт/м². Область слышимости. Чувствительность человеческого уха различна для различных частот. Для каждой частоты колебаний существует наи меньшая (порог слышимости) и наибольшая (порог болевого ощущения) интенсивность звука, которая способна вызвать звуковое ощущение. Область слышимости – это область, располо женная между кривыми зависимости порога слышимости и порога болевого ощущения от частоты звука.

100Эффект Доплера в акустике..

Это изменение частоты колебаний, воспринема емой приемником при движении источника колебаний и приемника друг относительно друга. Пусть источник и приемник звука движутся вдоль соединяющей их прямой. υ_и и υ_пр – положительны, если они приближаются друг к другу. Пусть частота колебаний источника ν₀: 1) υ_и=υ_пр=0; λ=υТ=υ/ν₀; ν=υ/λ=υ/υТ=ν₀ (1). Распростра няясь в среде волна достигает приемника и вызывает колебания его высокочувствительного элемента с частотой (1); 2) υ_пр>0, υ_и=0. Скорость распространения волны относительно приемни ка есть υ+υ_пр, длина волны не меняется. ν = (υ+υ_пр) / λ = (υ+υ_пр ) / υТ = (υ+υ_пр)ν₀ / υ; 3) υ_и>0, υ_пр=0. Скорость зависит от свойств среды, поэтому за время, равное периоду колебаний источника, пройдет в направлении к приемнику расстояние λ=υТ (независимо от того, движется или покоится источник). Источник пройдет в направлении волны расстояние υ_иТ, тогда см. рис. λ₁=λ – υ_иТ=(υ – υ_и)Т; ν=υ/λ₁=υ/(υ – υ_и)Т=υν₀/(υ – υ_и); 4) источник и приемник движутся друг относительно друга, в этом случае используя результаты 2, 3: ν=(υ ± υ_пр)ν₀ / (υ ± υ_и) верхний знак берется, если при движении источника и приемника происходит их сближение, а нижний – при их отдалении.

101. Вектор Умова-Поинтинга.

Электромагнитные волны – это переменное электромагнитное поле, распространяющееся в пространстве с конечной скоростью, равной ско рости света. Существование этих волн вытекает из уравнения Максвелла. Она возникает в резуль тате того, что переменное электрическое поле вызывает переменное электромагнитное поле, которое в свою очередь опять порождает пере менное электрическое поле и т.д. Источником электромагнитных волн может быть любой коле бательный контур или проводник, по которому течет переменный электрический ток. Для полу чения электромагнитных волн не пригодны закры тые колебательные контуры, т.к. в них электромаг нитное поле сосредоточенно внутри конденса тора, а магнитное – внутри катушки индуктивнос ти. В вакууму электромагнитные волны распрос траняются со скоростью света не зависимо от частоты колебаний. Электромагнитные волны обладают широким диапазоном частот (свето вые, радиоволны). Фазовая скорость электро магнитных волн равна υ = с / √Еμ. В вакууме Еμ = 1, поэтому υ = с. В веществе Еμ>1, поэтому υ<c. Электромагнитные волны поперечны. Векторы Е и Н взаимноперпендикулярны. Вектор Умова-Поинт инга. Объемная плотность энергии электромагн итной волны складывается из объемных плотно стей электронного и магнитного полей. ω=ω_эл+ω_м= ЕЕ₀Е²/2 + μμ₀Н²/2; √ЕЕ₀*Е = √μμ₀*Н, то ω_эл=ω_м, ω=2ω_эл=ЕЕ₀Е². Умножив величину плотнос ти на υ, получим плотнсть потока энергии: S=ωυ= EH. Тогда вектор S=[EH] – векторУмова=Поинтинга. Направление этого вектора совпадает с напра влением переноса энергии. Он направлен в сторону направления распространения электро магнитной волны, а его модуль равен энергии, переменной электромагнитной волной за едини цу времени через единичную площадку перпен дикулярную направлению распространения волны. Т.к. электромагнитные волны поглощаются или отражаются телами, то электромагнитная волна должна оказывать давление на тело. Суще ствование давления приводит к выводу о том, что электромагнитному полю присущ электромагн итный импульс. Р=ω / с