5.1. Нахождение начального опорного плана и переход к новому опорному решению

Предположим, что необходимо найти минимум целевой функции при следующей системе ограничений:

(5.1.1)

Запишем систему (5.1.1) в векторной форме:

(5.1.2)

, ,…, , ,..., .

Векторы , ,.., образуют базис в . Поэтому в соотношении (5.1.2) за базисные переменные принимаем , ,…, , а остальные переменные

(будем называть их свободными) приравниваем нулю. Учитывая, что , получаем, что опорное решение задачи (5.1.1) имеет вид

Рассмотрим, как, исходя из начального опорного решения, можно построить другое опорное решение, которое будет более близким к оптимальному, т.е. на котором значение целевой функции будет меньше. Систему ограничений (5.1.1) перепишем в виде:

(5.1.3)

Выражая значения , ,…, через свободные неизвестные, целевую функцию получим в виде:

. (5.1.4)

Итак, первоначальный опорный план , а соответствующее значение . Возможны следующие ситуации:

1) все , , …, . Тогда минимум достигается при , т.е. план является оптимальным и ;

2) среди чисел , , …, имеются положительные. Пусть , где одно из чисел , ,..;, . Тогда полагаем все , , …, равными нулю, кроме . Из (5.1.3) следует, что

(5.1.5)

и .

Здесь, в свою очередь, могут представиться два случая:

а) все числа , , …, , тогда для любого все значения , ,…, . В этом случае не достигается, так как при функция ;

б) среди чисел , , …, имеются положительные. Пусть, например, . Так как все компоненты плана должны быть положительны, то нельзя увеличивать более, чем ( иначе станет отрицательным ).

Поэтому найдём называется разрешающим элементом. Положим ,…, , , ,…, . Найдём значения остальных неизвестных:

Получено новое опорное решение: .

Значение целевой функции при этом уменьшается:

.

Идея симплекс-метода заключается в том, что на каждом этапе один из векторов выводится из базиса, а вместо него вводится другой – . При этом удобно, чтобы он стал бы единичным. Поэтому в системе ограничений -е уравнение, содержащее разрешающий элемент , делим на . Исключаем из всех остальных уравнений, т.е. осуществляем преобразование Жордана-Гаусса.

Итак, алгоритм симплекс-метода состоит в следующем:

1. Приводим систему к виду, содержащему единичных векторов, и определяем первоначальный опорный план.

2. Выражаем через свободные переменные в виде:

.

Если при этом все коэффициенты , ,.., не являются положительными, то найденный первоначальный план является оптимальным.

3. Пусть среди чисел , ,.., имеются положительные. Берём любой из них, например, , и просматриваем весь соответствующий столбец . Он называется разрешающим столбцом. Если все числа этого столбца отрицательны, то Задача решения не имеет.

4. Если в этом столбце есть положительные числа, то находим разрешающий элемент – это элемент, для которого отношение минимально. Пусть это элемент .

5. Выводим переменную из числа свободных и меняем её с базисной переменной .

6. Эту процедуру выполняем до тех пор, пока все коэффициенты при свободных неизвестных станут неположительными, (это признак

оптимальности плана) либо неположительными станут все элементы в разрешающем столбце ( т.е. ).

Замечание. На практике этот алгоритм реализуется с помощью симплекс-таблиц (см. пример 5.1.).

Пример 5.1. Строительное управление ведёт капитальный ремонт жилых домов. Перегородки внутри этих домов могут быть изготовлены гипсобетонными или каркасными ( с обшивкой листами сухой штукатурки ). Ресурсы на месяц заданы в таблице:

Потребности на площади перегородок

Гипсобетон Пиломатериалы Сухая штукатурка Трудоресурсы	Каркасные	Гипсобетонные
	― чел. дней	― чел. дней

Рассчитать общее количество как каркасных, так и гипсобетонных перегородок, которые следует возвести в текущем месяце, чтобы их площадь была наибольшей, если строительное управление имеет в наличии гипсобетона – , пиломатериалов – , сухой штукатурки – , трудоресурсов – .

Решение. Составим математическую модель задачи. Пусть требуется возвести каркасных и гипсобетонных перегородок. Из условия на это уйдёт: гипсобетона , пиломатериалов , сухой штукатурки , трудоресурсов . Учитывая лимиты материалов и трудоресурсов, составляем систему ограничений – неравенств:

Для решения задачи симплекс-методом вводим дополнительные переменные:

Полагаем . Принимаем , в качестве свободных переменных, , , , в качестве базисных. Начальный опорный план имеет вид: , . Составляем симплекс-таблицу (в сокращённой форме), соответствующую начальному опорному плану. Обратим внимание, что коэффициенты при свободных переменных пишутся с противоположным знаком.

- - 0 0,25 300 0,08 0,1 200 1 0 2000 0,8 0,5 2000 1 1 0

Выбираем какой-либо положительный элемент в последней строке симплекс-таблицы ( среди коэффициентов при и в целевой функции) и соответствующий столбец объявляем ведущим. Например, объявим ведущим второй столбец и поставим стрелку вверх. Подсчитаем отношения свободных членов к положительным элементам ведущего

столбца:

, , .

Элемент ведущего столбца, для которого отношение минимально ( в нашем случае 0,25) объявляем ведущим. Строка, в которой находится элемент, также называется ведущей и помечается стрелкой слева.

Теперь запишем правила перехода к новой симплекс-таблице, соответствующие приведённому выше алгоритму симплекс-метода:

1. Базисная переменная, находящаяся в ведущей строке, и свободная переменная, находящаяся в ведущем столбце, меняются местами.

2. Ведущий элемент заменяется величиной, ему обратной.

3. Все элементы ведущей строки (включая свободный член), кроме ведущего элемента, заменяются их отношениями к ведущему элементу.

4. Все элементы ведущего столбца (кроме ведущего элемента) заменяются взятыми с обратными знаками их отношениями к ведущему элементу.

5. Остальные элементы заменяются по «правилу 4 элементов»: любой такой элемент умножается на ведущий и из произведения вычитается произведение двух других элементов, составляющих с первыми вершины прямоугольника, после чего результат делится на ведущий элемент.

Проводя вычисление по этим правилам, получаем следующую симплекс-таблицу:

- - 0 4 1200 0,08 -0,4 80 1 0 2000 0,8 -2 1400 1 -4 -1200

Значение -1200 ещё не является минимальным для функции , т.к. в последней строке ещё есть положительный коэффициент.

Аналогично составляем следующую симплекс-таблицу:

- - 0 4 1200 12,5 -5 1000 -12,5 5 1000 -10 2 600 -12,5 1 -2200	И значение -2200 не является минимальным для . Составим ещё одну симплекс-таблицу:
- - 400 2000 -10 -1/5 -2400	Пересчитывая последнюю строку, сразу убеждаемся, что значение -2400 является минимальным для функции . Нам ещё следует пересчитать свободные члены при и . Поскольку в опорном плане, соответствующем симплекс-таблице, свободные неизвестные равны 0, то найденные значения свободных членов при и дадут оптимальный план производства:

,

.