2.18 Методика изучения уравнений и их систем в средней школе. Равносильность уравнений. Алгебраические уравнения и их системы.

Пусть функции   и   определены на некотором множестве  . Поставим задачу: найти множество  , на котором эти функции принимают равные значения, другими словами, найти все значения  , для которых выполняется равенство:  = .

    При такой постановке это равенство называется уравнением с неизвестным  Уравнение называется алгебраическим, если в нем над неизвестным выполняются только алгебраические операции – сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня с натуральным показателем.

Множество   называется множеством (областью) допустимых значений неизвестного для данного уравнения.

Множество   называется множеством решений, а всякое его решение   - корнем данного уравнения

Решить уравнение, – значит, найти множество всех его решений или доказать, что их нет.

Уравнения, имеющие одни и те же корни, называются равносильными.

Основная теорема алгебры: всякое целое алгебраическое уравнение степени   в области комплексных чисел имеет   корней.

Основные правила преобразования уравнения в равносильное ему:

·        Какое-нибудь слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком;

·        Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и тоже отличное от нуля число;

·        Если уравнение имеет вид  , то деление обеих его частей на  , как правило, недопустимо, поскольку может привести к потере корней; в этом случае могут быть потеряны корни уравнения  =0, если они существуют;

·        Уравнение вида   можно заменить равносильной системой   или решить уравнение  =0, а затем отбросить те из найденных корней, которые обращают в нуль знаменатель  ;

·        Уравнение считается решенным неверно как в случае, когда ответ содержит посторонние корни, так и в случае, когда в процессе решения был потерян хотя бы один корень.

Теорема о неэквивалентности уравнений: Если функции   и   имеют общую область определения, то уравнения  =  и  ²= ² не обязательно являются эквивалентными в этой области.

Теорема об эквивалентности уравнений: Если функции   и   имеют общую область определения   и для каждого значения переменной из области   эти функции принимают неотрицательные значения, то уравнения  =  и  ²= ² являются эквивалентными области  .

 

Некоторые типы уравнений и их корни

Линейное уравнение
,  - любое число	Уравнение имеет единственный корень, определяемый формулой x=-b/a
	Уравнение имеет бесконечное множество корней, – любое число служит его корнем
,	Уравнение корней не имеет, – ни одно число не может обратить его в справедливое равенство

 

Квадратное уравнение  , дискриминант
		Среди действительных чисел корней нет

 

Приведенное квадратное уравнение  , дискриминант
					Среди действительных чисел корней нет

         В некоторых случаях может быть эффективным метод разложения левой части уравнения:  =0 на множители:

 

         Иррациональным называются уравнения, содержащие неизвестную величину под знаком радикала. Чтобы решить иррациональное уравнение, чаще всего приходится возводить его в степень, при этом нет никакой гарантии, что такого рода действия преобразуют данное уравнение в уравнение ему равносильное. Найдя корни этого уравнения, мы обязаны проверить, не являются ли они посторонними.

         Два уравнения вида:

для которых ищется общее решение, образуют систему уравнений первой степени с двумя неизвестными.

         Аналогично для любой системы алгебраических уравнений:

Две системы уравнений называют эквивалентными, если всякое решение одной системы является решением другой и, обратно, или если обе системы не имеют решений.

Существует три основных способа решения систем алгебраических уравнений: графический, метод подстановки и метод сложения.