2.10 Методика изучения тригонометрических функций в курсе планиметрии.

Триг. ф-ции служат для описания разнообр. периодич. процессов: восход/заход, прилив/отлив

Триг. ф-ции – первые трансцендентные ф-ции, изуч. в школе. Роль и место их опр-тся след. факторами: ) Тр. ф-ции представляют собой замечательный вычислительный аппарат для решения задач в планиметрии и стереометрии. ) Учения о тр. ф-циях позволяют наглядно и убедительно продемонстрировать важнейшие св-ва ф-ций вообще.Впервые знакомство происходит в 8 кл. (геометрия), где реализуется первый способ введения: ч/з стороны в прямоуг. треугольнике. В 8 кл. второй способ: ч/з координаты радиус-вектора. По Атанасяну в 9 кл. третий способ: ч/з единичную окружность (следствие 2-го способа).

Возможные пути введения тр. ф-ций:

. Ч/з ст-ны прямоуг. треугольника. Осн. недостаток: затруднение при переходе к углам > 90 и переходе к тригон. ф-циям числового аргумента.

. Ч/з тригонометрические линии в круге.

. Следствие  способа: ч/з проекции единичного вектора, т.е. sin и cos – это новые названия ординаты и абсциссы точки единичной окр-сти, полученной в рез-те поворота начального радиуса ОА на угол  относительно (0;0). Поэтому рассм-тся угол поворота. Рассм-тся радианные и градусные измерения углов.

Т.обр., каждому допустимому углу  соотв. единств. зн-ние sin, cos…, кот. наз. тригоном. ф-циями угла. Из этого следует

V способ: определение триг. ф-ции как ф-ции угла.

В 7-9 кл. св-ва триг. ф-ций выводятся на основании их опр-ний как функций угла поворота начального радиуса в триг. окружности (периодичность, знаки по четвертям, знакопостоянство, четность, монотонность, D(y), E(y). Т.обр., роль триг. круга в иссл-нии триг. ф-ций очень велика. Св-ва, вывед. в 7-9 кл., использ. в решении задач вычислительного характера.

В 10 кл.: знакомство с формулами приведения (мнемоническое правило: формулы приведения позволяют перейти от ф-ции тупого угла к ф-ции острого); осн. триг. тождества, ф-лы сложения, ф-лы двойного угла; построение гафиков триг. ф-ций. И графики и круг примен. для решения триг. уравнений и неравенств. В рез-те изучения дети должны уметь преобразовывать триг. выражения, строить графики.

Завершается изучение триг. функций общей схемой исследования функций на примере исследования триг.ф-ции (14 свойств – обл. определения, обл. значений, четность, наименьший положительный период, к-ты точек пересечения графика с осью Ох, к-ты точек пересечения графика с осью Оy, промежутки, на которых f принимает положительные значения, промежутки, на которых f принимает отрицательные значения, промежутки возрастания, промежутки убывания, точки минимума, минимумы ф-ции, точки максимума, максимумы ф-ции)

Как д-ть, что наименьший положительный период для sin явл. 2π?

Период – это Т≠0, f(x)=f(x+T)=f(x-T).

2π≠0, x+2π, x-2π D(y), что sin(x)=sin(x+2π)=sin(x-2π)

2π≠0, x+2π, x-2π D(y), что cos(x)=cos(x+2π)=cos(x-2π) □

2.11 Методика изучения показательной и логарифмической функций в средней школе.

Ознакомление учащихся с показательной и логарифмической функциями начиная с изучения свойств степеней и логарифмов.

Курс алгебры знакомит учащихся с понятием степени с рациональным показателем. Таким образом для любого основания степени (где , ) можно построить функцию: , , область определения которой – множество действительных чисел. Необходимо ввести определение степени с иррациональным показателем. Используемое свойство степени с основным, например, большим единицы (возрастании), рациональное приближение иррационального числа α: r₁< α< r₂. Исходя из графического изображения зависимости показателя степени и значения степени, показывается, что найдется такое значение y, которое будет наибольшим среди всех a^r1 и наименьшим среди всех a^r2 , которое можно считать значением a^α.

Затем формируется определение показательной функции: функция, заданная формулой y=a^x( , ), называется показательной функцией с основанием a, и формулируемые основные свойства: D(a^x)=R; E(a^x)=R_Т; a^x возрастает при a>1 и a^x убывает при 0<a<1; напоминаются основные свойства степеней. Т.о. показательная функция есть систематизация, обобщение и расширение знаний учащихся о свойствах степени.

Логарифмическая функция – новый математический объект для учащихся. К понятию логарифма учащихся подводят в процессе решения показательного уравнения a^x=b в том случае, если b нельзя представить в виде степени с основанием a. Наше уравнение в случае b>0 имеет единственный корень, который называют логарифмом b по основанию a и обозначают log_ab, т.е. a^logab=b. Одновременно с введением нового понятия учащиеся знакомятся с основным Логарифмическим тождеством. При работе с логарифмами применяются следующие их свойства, вытекающие из свойств показательной функции:

При любом ( ) и любых положительных x и y, выполнены равенства:

1. log_a1=0

2. log_aa=1

3. log_axy= log_ax+ log_ay

4. log_ax/y= log_ax- log_ay

5. log_ax^p= plog_ax

Изучение логарифмической функции начинается с выделения определения: функцию, заданную формулой называют логарифмической функцией с основанием . Основные свойства выводится из свойств показательной функции:

1. ,

2. ,

3. Логарифмическая функция на всей области определения возрастает (при a>1) или убывает (при 0<a<1).

Покажем, что при a>1 возрастает. Пусть и , надо доказать, что: . Допустим противное, т.е. что . Т.к. показательная функция при a>1 возрастает, то из неравенства следует: , что противоречит выбору . Следовательно: и функция при a>1 – возрастает.

Т.к. при a>1 функция возрастает, то логарифмическая функция положительна при x>1 и отрицательна для 0<x<1 (для основания 0<a<1 – наоборот). На основании рассмотренных свойств строится график этой функции.