24.Однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

Уравнение вида - линейное ДУ с постоянными коэффициентами.

Если , то уравнение однородное.

Решение этого уравнения ищем в виде , где k=const.

- характеристическое уравнение

1) >0 - 2 действ., разл. корня.

2) =0 = =

3) <0 ,

25. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами:

(1)

Общим решением неоднородных уравнений вида (1) = сумме общих решений, соотв. однородным уравнениям и частных решений неоднородных уравнений.

, где - общее решение , z(x)- частное решение (1).

Метод неопределенных коэффициентов:

1) , ,

Если m- корень характ уравнения, то

2) ,

, находим А и В

3)

4)

Если -корень хар уравнения, след.

Если и -корни (кратности 2), то

5) , где - 1 вид, -2 вид., след.

26. Метод вариаций произвольных постоянных.

(1)

1) z ищем методом вариаций.

, где и - произвольные постоянные

2) Пусть и , то есть это функции, которые подберем так, чтобы было решением уравнения (1)

(2)

Подберем и так, чтобы сумма , тогда:

Так как z- решение (1), то подставим это в уравнение (1)

(3)

Систему (**) относительно 2-х неизвестных и решаем по Крамеру:

27. Линейные ду высших порядков

ДУ n-ого порядка называется уравнение вида

Для определен.решенения необходимо задать n постоянных

С пост.коэф.:

1) однородное уравнения

- характеристическое уравнение.

- корни характеристического уравнения.

Если все корни – различные действительные числа

Каждой паре комплексных сопр.корней будет соответствовать

2)

S- кратность корня

28.Вронскиан, его свойства.

Средством изучения линейной зависимости систем функций является так называемый определитель Вронского.

Для 2-х дифференцируемых функций и вронскиан имеет вид

Если дифференцируемые функции и линейно зависимы на (a;b), то определитель Вронского на этом интервале тождественно =0.

Если функции и линейно независимые решения на интервале (a;b), то определитель Вронского на этом интервале нигде не обращается в ноль.

29.Преобразования Лапласа.

Пусть f(x) – функция действительной переменной t, назовем ее оригиналом, если она обладает следующими свойствами:

1. f(t) 0, при t<0

2. f(t) непрерывна или имеет конечное число точек разрыва I рода и точки устранимого разрыва на любом конечном интервале.

3. существует такое M>0 и S₀ 0, что для всех t 0 , S₀- показатель роста f(t).

Прим: функция Хевисайта (единичная функция)

Пусть f(t) – произвольная функция, являющаяся оригиналом, и p=a+bi – комплексное число такое, что Re p S₀.

Преобразованием Лапласа называется выражение

F(p) – изображение f(t)

Всякому оригиналу соответствует изображение

Любой линейной комбинации оригиналов соответствует линейная комбинация их изображений

k=1,2,…n