4.4. Критерий однородности Смирнова

Пусть имеются независимые выборки измерений непрерывных СВ и объёма и соответственно. Рассмотрим критерий Смирнова, используемый для проверки гипотезы об одинаковом законе распределения СВ и .

По данным выборок строятся статистические функции распределения рассматриваемых СВ по формулам и , где и – количество элементов соответствующих выборок, значения которых меньше значения аргумента х. Далее определяется значение статистики

,

где и – случайные функции, реализациями которых являются и .

Если гипотеза является истинной, то при бесконечно больших и статистика К независимо от закона распределения непрерывных СВ и имеет распределение Колмогорова. Принятие или отклонение гипотезы осуществляется таким же образом, как при использовании критерия согласия Колмогорова.

4.5. Проверка гипотезы о независимости двух случайных величин

Пусть – случайные векторы, соответствующие результатам n независимых измерений случайного вектора . Рассмотрим один из критериев проверки гипотезы о независимости генеральных совокупностей Х и Y.

Пусть множества возможных значений СВ Х и Y разбиты на группы (если Х и Y – дискретные СВ) или интервалы (если Х и Y – непрерывные СВ). Интервалы (группы) значений СВ Х и Y будем обозначать, соответственно, через и . Количество измерений случайного вектора , при которых СВ Х попала в интервал (группу) , а СВ Y – в интервал (группу) , обозначим через .

Проведя измерения и определив значения , вычислим величины и , которые равны, соответственно, общему числу попаданий СВ Х в интервалы (группы) и СВ Y в интервалы (группы) . Эти величины, очевидно, удовлетворяют условиям и . Далее найдём значения , , .

Пусть и – случайные величины, реализациями которых являются и . Если гипотеза является истинной, то при бесконечно большом n независимо от законов распределения СВ Х и Y статистика

имеет распределение “хи-квадрат” с степенями свободы.

Для принятия или отклонения гипотезы задаётся уровень значимости  и с помощью таблицы определяется значение из условия . Если значение статистики К, вычисленное по данным выборки , полученной в рассматриваемой серии измерений случайного вектора , не превосходит , то гипотеза принимается, иначе – отклоняется.

4.6. Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий и дисперсий двух нормально распределённых св

Пусть Х и Y – две СВ, имеющие нормальное распределение и измеряемые независимо друг от друга. Пусть – случайная выборка объёма n из генеральной совокупности Х, а – случайная выборка объёма m из генеральной совокупности Y. Требуется при заданном уровне значимости  проверить гипотезу о равенстве математических ожиданий и дисперсий СВ Х и Y.

Сначала рассмотрим гипотезу о равенстве дисперсий, выдвинутую без предположения о равенстве математических ожиданий. Пусть и – исправленные дисперсии СВ Х и Y. Тогда при выполнении равенства (выполнение равенства не обязательно) статистика

является дробью Фишера с степенями свободы. Для проверки гипотезы по известным значениям m, n и  с помощью таблицы определяются числа и из условий и . Если вычисленное по данным выборок измерений СВ Х и Y значение статистики К удовлетворяет неравенствам , то выдвинутая гипотеза принимается, иначе – отклоняется.

Рассмотрим, далее, гипотезу о равенстве математических ожиданий, выдвинутую в предположении о равенстве дисперсий. Пусть и – выборочные математические ожидания СВ Х и Y. Тогда при выполнении равенства (равенство предполагается выполненным, но значение дисперсий неизвестно) статистика

является дробью Стьюдента с степенями свободы. Для проверки гипотезы по известным значениям m, n и  с помощью таблицы определяется число из условия . Если вычисленное по данным выборок измерений СВ Х и Y значение статистики К удовлетворяет неравенству , то гипотеза принимается, иначе – отклоняется.

При проверке гипотезы о равенстве параметров двух генеральных совокупностей, имеющих нормальное распределение, сначала следует проверить гипотезу о равенстве дисперсий, а затем (в случае принятия гипотезы о равенстве дисперсий) – гипотезу о равенстве математических ожиданий. Если в результате проверки обе гипотезы приняты, то гипотеза о равенстве параметров принимается, иначе – отклоняется.