4.2. Критерий согласия Пирсона

Критерий Пирсона используется для проверки гипотезы о предполагаемом законе распределения генеральной совокупности Х по данным выборки . Этот закон может быть задан с помощью функции, плотности или ряда распределения. Параметры соответствующего закона задаются заранее или определяются по данным выборки.

Множество возможных значений СВ Х разбивается на l непересекающихся интервалов (в случае непрерывной СВ) или l групп различных значений (в случае дискретной СВ). Далее по данным сформированной выборки определяются значения , где – количество элементов выборки, попавших в i-й интервал (i-ю группу значений), – вероятность попадания СВ Х в i-й интервал (i-ю группу значений), вычисленная для предполагаемого закона распределения. После этого вычисляется значение статистики

,

где l – число интервалов (групп значений), n – объём выборки, – СВ, реализацией которых являются соответствующие значения .

Если гипотеза является истинной, то статистика К при бесконечно большом n независимо от закона распределения СВ Х имеет распределение “хи-квадрат” с степенями свободы, где r – количество параметров закона распределения, значения которых определяются по данным выборки. Если, например, выдвинута гипотеза о согласии статистических данных с нормальным распределением (или с распределением Пуассона), но соответствующие параметры m и  (или параметр ) не заданы и в качестве их значений используются реализации точечных оценок, то следует положить (или ). Если выдвинута гипотеза о согласии с заданным законом распределения с заданными значениями параметров, то .

При использовании критерия предполагается, что и разбиение на интервалы или группы значений проведено так, что , . Рекомендуется брать .

Для принятия или отклонения гипотезы задаётся уровень значимости  и с помощью таблицы определяется значение , удовлетворяющее условию . Если вычисленное по данным выборки значение статистики К не превосходит , то выдвинутая гипотеза принимается, иначе – отклоняется.

Основное достоинство критерия Пирсона состоит в возможности определять значения параметров предполагаемого закона распределения по данным выборки. Основной недостаток критерия состоит в том, что при его использовании происходит потеря информации из-за группировки элементов выборки по интервалам или группам значений.

4.3. Критерий согласия Колмогорова

Критерий Колмогорова используется для проверки гипотезы о предполагаемом законе распределения непрерывной СВ Х по данным выборки . Этот закон задаётся в виде непрерывной функции распределения с известными значениями параметров.

По данным выборки строится статистическая (эмпирическая) функция распределения СВ Х по формуле , где – количество элементов выборки, значения которых меньше значения аргумента х. Далее определяется значение статистики

,

где – случайная функция, реализацией которой является .

При использовании критерия предполагается, что . Если гипотеза является истинной, то закон распределения статистики К при бесконечно большом n не зависит от закона распределения непрерывной СВ Х и представляет собой закон Колмогорова, который задаётся таблично.

Для принятия или отклонения гипотезы задаётся уровень значимости  и с помощью таблицы распределения Колмогорова определяется значение , удовлетворяющее условию . Если вычисленное по данным выборки значение СВ К не превосходит , то гипотеза принимается, иначе – отклоняется.