2.3. Получение точечных оценок методом максимального правдоподобия. Оценки параметров распределения Пуассона и нормального распределения

Пусть – случайная выборка объёма n из генеральной совокупности Х, закон распределения которой зависит от некоторых параметров . Если Х – дискретная СВ, то функцией правдоподобия случайной выборки называется

,

где есть вероятность события , зависящая от значения аргумента и от значений параметров (для значений аргумента х, не являющихся возможными значениями СВ Х, соответствующая вероятность равна нулю при любых возможных значениях параметров). Функция L при любом фиксированном наборе значений аргументов равна вероятности того, что при указанных значениях параметров в результате n независимых измерений СВ Х будет получена данная выборка . Если Х – непрерывная СВ, то

,

где есть плотность распределения СВ Х, зависящая от значений параметров .

Построив функцию правдоподобия L, нужно найти такие функции , , в результате подстановки которых вместо соответствующих аргументов функция L при любых значениях аргументов принимает максимальное значение. Пользуясь необходимым условием экстремума, для этого следует решить систему уравнений , относительно . Полученные выражения , принимаются в качестве формул для нахождения реализаций оценок соответствующих параметров по данным выборки. Заменив на и на , получим искомые оценки.

Поскольку максимумы функций L и достигаются при одних и тех же значениях аргументов, то для удобства вместо функции правдоподобия L обычно используется логарифмическая функция правдоподобия и решается система , . Метод максимального правдоподобия позволяет получать состоятельные оценки параметров, которые являются асимптотически несмещёнными, а для некоторых законов распределения – несмещёнными и эффективными.

Пусть генеральная совокупность Х имеет распределение Пуассона. Тогда функция правдоподобия имеет вид

.

Для нахождения функции , при которой L обращается в максимум, перейдём к логарифмической функции правдоподобия Решив уравнение относительно , найдём , т.е. искомая оценка параметра  имеет вид

Пусть, далее, генеральная совокупность Х имеет нормальное распределение. Тогда функция правдоподобия имеет вид

.

Переходя к логарифмической функции правдоподобия

и решая систему уравнений

,

относительно m и , находим , , т.е. оценки параметров имеют вид

3. Интервальные оценки параметров

3.1. Понятие об интервальном оценивании параметров

Точечная оценка параметра распределения СВ позволяет найти лишь его приближённое значение. На практике бывает необходимо знать, насколько сильно может отличаться значение этого параметра от возможных значений оценки для различных выборок измерений. Ответ на этот вопрос даёт интервальный (доверительный) способ оценивания параметров.

Пусть – случайная выборка из генеральной совокупности Х. Интервальный (доверительный) способ оценивания состоит в построении случайного интервала , который с заданной вероятностью , близкой к единице, содержит в себе неизвестное значение рассматриваемого параметра . Такой интервал называется доверительным, а соответствующая вероятность  – доверительной. Левая и правая границы этого интервала представляют собой некоторые функции и , т.е. являются случайными величинами.

Доверительная вероятность характеризует надёжность доверительного оценивания: чем больше , тем чаще в среднем оправдывается вывод о том, что интервал, соответствующий полученной выборке измерений CВ Х, содержит в себе неизвестное значение параметра . С ростом доверительной вероятности, однако, растёт и средняя длина интервала, т.е. падает точность интервального оценивания. Таким образом, вероятность  должна быть такой, чтобы надёжность интервальной оценки была достаточно высокой, но её точность при этом оставалась приемлемой.

Границы случайного интервала, который с заданной вероятностью  содержит в себе неизвестное значение параметра, определяется неоднозначно, т.е. функции и могут быть выбраны по-разному. Для того чтобы оценка параметра была наиболее точной, доверительный интервал строится исходя из требования наименьшей средней длины.

Числовой интервал, построенный для заданной доверительной вероятности  по данным выборки , называется реализацией соответствующего доверительного интервала и обозначается .