2. Точечные оценки параметров

2.1. Понятие о точечных оценках параметров и их свойствах

Выше была рассмотрена задача нахождения закона распределения СВ (ряда, функции или плотности распределения СВ) по результатам её измерений. Однако на практике часто встречаются ситуации, когда вид закона распределения уже известен и требуется найти только параметры, от которых он зависит. В частности, для нормального закона задача сводится к нахождению параметров m и , для закона Пуассона – параметра . В некоторых задачах вообще не требуется знать вид закона распределения СВ, а требуется найти только её числовые характеристики, например, математическое ожидание и дисперсию.

Пусть закон распределения СВ Х зависит от некоторого параметра , значение которого неизвестно (под параметрами будут пониматься также числовые характеристики), а – случайная выборка из генеральной совокупности Х. Тогда приближённое значение параметра  определяется как значение некоторой функции . Функция называется точечной оценкой параметра  и является случайной величиной, т.к. её значение зависит от значений СВ .

Числовое значение точечной оценки параметра , вычисленное по данным выборки , называется реализацией соответствующей оценки. Для того чтобы реализацию оценки можно было считать приемлемым приближением к значению параметра, эта оценка должна обладать определёнными свойствами.

Оценка параметра  называется состоятельной, если при неограниченном увеличении объёма случайной выборки она сходится по вероятности к точному значению параметра, т.е. для любого имеет место

.

Требование состоятельности является обязательным для любой точечной оценки, применяемой на практике.

Оценка параметра  называется несмещённой, если при любом фиксированном объёме случайной выборки имеет место , т.е. среднее значение оценки совпадает с точным значением параметра. В противном случае оценка называется смещённой.

Несмещённая оценка параметра  называется эффективной, если при любом фиксированном объёме случайной выборки она имеет наименьшую дисперсию среди всех несмещённых оценок этого параметра.

Точечные оценки, используемые на практике, не всегда являются несмещёнными и эффективными. Например, может оказаться, что эффективная оценка существует, но формула для её вычисления очень сложна, и тогда приходится использовать другую несмещённую оценку, дисперсия которой несколько больше. Иногда с целью простоты расчётов применяются незначительно смещённые оценки.

Оценка параметра  называется асимптотически несмещённой, если . Несмещённая оценка называется асимптотически эффективной, если , где – эффективная оценка.

2.2. Точечные оценки математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения

Пусть – случайная выборка из генеральной совокупности Х, математическое ожидание m и дисперсия D которой неизвестны. В качестве точечной оценки математического ожидания на практике обычно используется среднее арифметическое случайных результатов измерений, т.е. СВ . В силу теоремы Чебышёва данная оценка является состоятельной. Она является несмещённой, т.к.

.

При некоторых законах распределения СВ Х эта оценка является эффективной. Величина называется выборочным математическим ожиданием (выборочным средним).

В качестве точечной оценки дисперсии может использоваться выборочная дисперсия , т.е. среднее арифметическое квадратов отклонений случайных результатов измерений от выборочного среднего. Доказывается, что , т.е. СВ является асимптотически несмещённой оценкой дисперсии. В качестве несмещённой оценки используется исправленная дисперсия . Оценки и являются состоятельными. При большом объёме выборки их реализации почти не различаются.

В качестве точечных оценок среднего квадратического отклонения обычно используются величины

и ,

называемые, соответственно, выборочным и исправленным средними квадратическими отклонениями. Оценки S и являются состоятельными и асимптотически несмещёнными.

Реализации оценок и , вычисленные по данным выборки , обозначаются, соответственно, и .